Vdouine – Terminale S – 2015/2016
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Ce devoir maison vous invite à travailler sur les démonstrations de résultats importants du cours.
Toute trace de réflexion sera prise en compte, c’est la démarche mathématique qui intéresse le correcteur.
THEOREME 1
Somme des termes d’une suite géométrique
Soit un une suite géométrique de raison q1 et de premier terme u0. La somme Sn des n1 premier termes est égale à :
1
0 1 0
... 1
1
n
n n
S u u u u q
q
.
THEOREME 2 L’inégalité de Bernouilli
Pour tout a0; et tout n on a : 1an 1 na.
THEOREME 3 Théorème de comparaison
On considère deux suites un et vn . Si à partir d’un certain rang un vn et si lim n
n v
alors lim n
n u
.
THEOREME 4
Limite d’une suite géométrique
Soit q un nombre réel. Si q1 alors lim n
n q
.
THEOREME 5 Suite croissante non majorée
Si une suite un est croissante et non majorée alors la suite un diverge vers .
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THEOREME 6
Une fonction qui ne s’annule jamais
Montrer qu’une fonction f définie sur l’ensemble des réels par f x f x et f 0 1 est
une fonction qui ne s’annule jamais. Indication : on pourra s’appuyer sur une fonction auxiliaire g définie par g x f x f x et démontrer ce résultat par l’absurde.
THEOREME 7
Une fonction unique
Montrer que la fonction f définie sur l’ensemble des réels par f x f x et f 0 1 est
unique. Indication : on pourra supposer qu’il existe une autre fonction g satisfaisant les mêmes conditions et s’appuyer sur une fonction auxiliaire h définie par
h x f x
g x .
THEOREME 8
Propriété fondamentale de l’exponentielle
Montrer que la fonction f définie sur l’ensemble des réels par f x f x et f 0 1 vérifie
pour tout réel a et b la relation fonctionnelle suivante : f a b f a f b . Indication : on pourra étudier les variations d’une fonction auxiliaire g définie par
g x f a b x f x puis calculer g 0 et g b .
THEOREMES 9 ET 10
Comportement asymptotique de l’exponentielle Démontrer que lim x
x e
et que lim x 0
x e
. Indication : on pourra s’appuyer sur une fonction auxiliaire g définie par g x exx puis procéder à un changement de variable.
Croissance comparée de l’exponentielle
Démontrer que lim
x
x
e
x et que lim x 0
x xe
. Indication : on pourra s’appuyer sur une fonction auxiliaire g définie par 2
2
x x
g x e puis procéder à un changement de variable.
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THEOREME 11
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle a b; . On considère la fonction F définie sur a b; par F x ax f t dt . Démontrer que la fonction F est dérivable syr l’intervalle a b; et que sa dérivée est f .
THEOREME 12
Montrer qu’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre 0 suit une loi à durée de vie sans vieillissement c’est-à-dire que pX t X t h p X h quelque soit t et quelque soit h.
THEOREME 13
Montrer que l’espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre
0 est égale à 1
. On pourra démontrer que x 1 e x
est une primitive de xex.
THEOREME 14
Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants alors A et B le sont aussi.
THEOREME 15
Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N 0;1 de densité
2
1 2
2
x
f x e
Pour tour nombre réel tel que 0 1 il existe un unique réel positif u tel que :
1
p u X u
Indications
On note
0
F t t f x dx où f est la fonction de densité de la loi normale : 1 22
2
x
f x e
On montrera que p t X t 2F t , étudiera les variations de 2F sur l’intervalle 0;.