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THEOREME 1 Somme des termes d’une suite géométrique Soit  un une suite géométrique de raison q1 et de premier terme u0

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Academic year: 2022

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Vdouine – Terminale S – 2015/2016

Devoir maison 15 Page 1

Ce devoir maison vous invite à travailler sur les démonstrations de résultats importants du cours.

Toute trace de réflexion sera prise en compte, c’est la démarche mathématique qui intéresse le correcteur.

THEOREME 1

Somme des termes d’une suite géométrique

Soit  un une suite géométrique de raison q1 et de premier terme u0. La somme Sn des n1 premier termes est égale à :

1

0 1 0

... 1

1

n

n n

S u u u u q

q

    

.

THEOREME 2 L’inégalité de Bernouilli

Pour tout a0; et tout n on a : 1an  1 na.

THEOREME 3 Théorème de comparaison

On considère deux suites  un et  vn . Si à partir d’un certain rang un vn et si lim n

n v

   alors lim n

n u

  .

THEOREME 4

Limite d’une suite géométrique

Soit q un nombre réel. Si q1 alors lim n

n q

  .

THEOREME 5 Suite croissante non majorée

Si une suite  un est croissante et non majorée alors la suite  un diverge vers .

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Vdouine – Terminale S – 2015/2016

Devoir maison 15 Page 2

THEOREME 6

Une fonction qui ne s’annule jamais

Montrer qu’une fonction f définie sur l’ensemble des réels par f x f x  et f  0 1 est

une fonction qui ne s’annule jamais. Indication : on pourra s’appuyer sur une fonction auxiliaire g définie par g x  f x  f  x et démontrer ce résultat par l’absurde.

THEOREME 7

Une fonction unique

Montrer que la fonction f définie sur l’ensemble des réels par f x f x  et f  0 1 est

unique. Indication : on pourra supposer qu’il existe une autre fonction g satisfaisant les mêmes conditions et s’appuyer sur une fonction auxiliaire h définie par    

 

h x f x

g x .

THEOREME 8

Propriété fondamentale de l’exponentielle

Montrer que la fonction f définie sur l’ensemble des réels par f x f x  et f  0 1 vérifie

pour tout réel a et b la relation fonctionnelle suivante : f a b f a    f b . Indication : on pourra étudier les variations d’une fonction auxiliaire g définie par

    

g x f a b  x f x puis calculer g 0 et g b .

THEOREMES 9 ET 10

Comportement asymptotique de l’exponentielle Démontrer que lim x

x e

   et que lim x 0

x e

 . Indication : on pourra s’appuyer sur une fonction auxiliaire g définie par g x exx puis procéder à un changement de variable.

Croissance comparée de l’exponentielle

Démontrer que lim

x

x

e

 x   et que lim x 0

x xe

 . Indication : on pourra s’appuyer sur une fonction auxiliaire g définie par   2

2

x x

g x e puis procéder à un changement de variable.

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Vdouine – Terminale S – 2015/2016

Devoir maison 15 Page 3

THEOREME 11

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle  a b; . On considère la fonction F définie sur  a b; par F x ax f t dt  . Démontrer que la fonction F est dérivable syr l’intervalle  a b; et que sa dérivée est f .

THEOREME 12

Montrer qu’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre 0 suit une loi à durée de vie sans vieillissement c’est-à-dire que pX t X  t h p X h quelque soit t et quelque soit h.

THEOREME 13

Montrer que l’espérance d’une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre

0 est égale à 1

. On pourra démontrer que x 1 e x

 

est une primitive de xex.

THEOREME 14

Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants alors A et B le sont aussi.

THEOREME 15

Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N 0;1 de densité  

2

1 2

2

x

f x e

Pour tour nombre réel tel que 0  1 il existe un unique réel positif u tel que :

1

p u X u  

Indications

On note    

0

F t t f x dx f est la fonction de densité de la loi normale :   1 22

2

x

f x e

On montrera que p t X  t 2F t , étudiera les variations de 2F sur l’intervalle 0;.

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