une suite arithmétique de raison r.

PanaMaths

[1 - 2]

Septembre 2014

Soit ( ) ^u

_{n n∈`*}

une suite arithmétique de raison r.

Démontrer par récurrence le résultat classique suivant :

( )

⁰

0 1

, ... 1

2

n

n n

u u

n S u u u n +

∀ ∈ ` = + + + = +

Analyse

Classique ? Ultra-classique aurais-je dû écrire ! Tout élève arrivant en Terminale se doit de connaître cette formule voire d’être capable de la redémontrer selon l’approche traditionnelle dont le point de départ consiste à récrire la somme sous la somme initiale en inversant l’ordre des termes :

0 1

1 0

...

...

n n

n n n

S u u u

S u u ₋ u

= + + +

= + + +

Mais le résultat, comme demandé dans l’exercice, peut aussi se montrer par récurrence, l’étape un peu « délicate » étant, une fois encore l’hérédité …

Résolution

Soit

( )

un une suite arithmétique de raison r.

Pour tout n entier naturel, on pose :

P

n ^{: «} 0 1 ...

(

1

)

⁰

2

n

n n

u u S =u + + +u u = n+ + » Initialisation

Pour n=0, on a : S₀=u₀ et

(

1

)

⁰

(

0 1

)

^{0 0} 0

2 2

u un u u

n+ + = + + =u .

Donc

P

₀ est vraie, la propriété est initialisée.

Hérédité

Soit maintenant n un entier naturel quelconque fixé.

On suppose que la propriété

P

_n est vraie, c'est-à-dire : 0 1 ...

(

1

)

⁰

2

n

n n

u u S =u + + +u u = n+ + .

PanaMaths

[2 - 2]

Septembre 2014

On s’intéresse à

P

_n+1. On veut montrer que

P

_n+1 est vraie, c'est-à-dire, que l’on a :

( )

^{0 1}

1 0 1 ... 1 2

2

n

n n n

u u S ₊ =u + + +u u +u ₊ = n+ + ⁺ On a :

( ) ( )

( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1

1 0 1 1

1 0

1

0

1

0 1

0 1 1

0 1 1

...

1 hypothèse de récurrence

2

1 car est une suite arithmétique

2

1 1 2

2

1 1 1 1 2

2

1 1 2 1

2

n

n

n n n

n n

n n

u

n n

u n

n n

n n

S u u u u

S u u u

n u

u u r

n u u

n u u r u

n u n u n r u

n u n u u n r

+

+

+ +

+

+

+

+

+ +

+ +

= + + + +

= +

= + + +

+ −

= + +

⎡ ⎤

= ⎣ + + − + ⎦

= ⎡⎣ + + + − + + ⎤⎦

= ⎡⎣ + + + + − + ⎤

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0

0 1 1

0 1

0 1

1 1 2 1

2

1 2 2

2

2 2

n n

u

n

n

n u n u u n r

n u n u

u u n

+ +

+

+

⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= + + + + − +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ⎡⎣ + + + ⎤⎦

= + +

Ainsi, la propriété

P

_n+1 est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n.

Résultat final

Si

( )

^u_{n n∈`*} est une suite arithmétique, alors on a :

( )

⁰

0 1

, ... 1

2

n

n n

u u

n S u u u n +

∀ ∈` = + + + = +