N ° 2 Soit ( un ) la suite arithmétique de premier terme u0

Terminale STG Exercices sur le chapitre 6 : E2. 2007 2008

E2 Savoir travailler avec les suites arithmétiques.

N ° 2 Soit ( u_n ) la suite arithmétique de premier terme u₀ = - 1 et de raison a = 3.

1. La formule donnant le terme général en fonction de n est u_n = u₀ + na.

Donc u₅ = - 1 + 5 × 3 = - 1 + 15 = 14. u₁₅ = - 1 + 15 × 3 = - 1 + 45 = 44.

2. Calculons la somme u₅ + … + u₁₅ = ( 15 − 5 + 1 ) × 2

u u₅+ ₁₅

= 11

2 × ( 14 + 44 ) = 11

2 × 58 = 319.

3. Déterminons le sens de variation de la suite ( u_n ).

a = 3 donc a > 0 donc la suite ( u_n ) est une suite strictement croissante.

N ° 3 Soit ( v_n ) la suite arithmétique de premier terme v₁ = 7 et de raison a = − 0,2.

1. Calculons v₁₇ = v₁ + ( 17 − 1 ) × a = 7 + 16 × ( - 0,2 ) = 7 − 3,2 = 3,8.

2. Calculons la somme v₁ + … + v₁₇ = 17 × 2

v v₁+ ₁₇

= 17

2 × ( 7 + 3,8 ) = 91,8.

3. Déterminons le sens de variation de la suite ( v_n ).

a = - 0,2 donc a < 0 donc la suite ( u_n ) est une suite strictement décroissante.

N ° 4 Soit ( w_n ) la suite arithmétique de premier terme w₀ = 0,5 et dont w₇ = 21,5.

1. Calculons la raison de cette suite que nous nommerons a.

La formule est w_n = w₀ + na. Donc en particulier w₇ = w₀ + 7 a ⇔ 21,5 = 0,5 + 7 a ⇔ 21 = 7 a ⇔ a = 3.

La raison de cette suite est a = 3

2. Calculons la somme w₀ + … + w₇ = ( 7 + 1 ) × 2

w w₀+ ₇

= 8

2 × ( 0,5 + 21,5 ) = 4 × 22 = 88.

3. Déterminons le sens de variation de la suite ( w_n ).

a = 3 donc a > 0 donc la suite ( u_n ) est une suite strictement croissante.

N ° 5 Manuel verse 200 € sur un compte à l'ouverture de celui ci. Ensuite, il y verse 195 € le mois suivant puis, chaque mois, une somme diminuée de 5 € par rapport à celle versée le mois précédent.

On pose u₀ = 200 et on note u_n le n-ième versement effectué après ouverture.

1. Démontrons que la suite ( u_n ) est une suite arithmétique et préciser son premier terme et sa raison.

Pour passer du terme u_n à son suivant, on ajoute - 5 .

Donc la suite ( un ) est une suite arithmétique de raison a = - 5 et de premier terme u0 = 200.

2. a = - 5 donc a < 0 donc la suite ( u_n ) est une suite strictement décroissante.

3. Combien de versements Manuel fera -t-il ?

Autrement dit on recherche n lorsque u_n = 0 ⇔ 200 − 5n = 0 ⇔ 200 = 5n ⇔ n = 40.

Manuel fera donc 40 versements.

4. Combien aura-t-il épargné lorsqu'il aura effectué son dernier versement ? Autrement dit on recherche la somme

u₀ + u₁ + … + u₄₀ = 41 × 2

u u₀+ ₄₀

= 41

2 × ( 200 + 0 ) = 100 × 41 = 4 100.

Manuel aura donc épargné 4 100 €.