Chapitre IV Suites numériques.
Une suite numérique est une fonction définie surINou sur une partie deIN(Exemple:un =−n2+n−1).
Suites arithmétiques, suites géométriques
Suites arithmétiques
de premier termeu0 et de raisona: suite définie par un+1=un+a. On a alors un=u0+na.
Exemple : On place, en l’an 2000, 200 euros à in- térêts simples: les intérêts rapportent 10 euros chaque année, quelque soit la somme initiale. On appelle un la somme que l’on a en l’an 2000+n. On a :
½ u0 = 200
un+1 = un+ 10
un définit une suite arithmétique de premier terme 200 et de raison 10.
On a doncun= 200 + 10×n.
Soit par exemple u4 = 200 + 10×4 = 240 euros en 2004.
Proposition 1.1
SiS =uk+uk+1+· · ·+up est une somme de termes consécutifs d’une suitearithmétique(un)Alors
S=(b de termes de S)×(1er terme deS)+(dernier terme de S)
2 .
En particulier, si le terme initial est u1 alors u1+u2+· · ·un=n×u1+u2 n
et si le terme initial estu0 alors u0+u1+· · ·un= (n+ 1)×u0+u2 n
Exemple :Siun est la suite arithmétique de premier termeu0= 1et de raison 1 alors
u0+u1+u2+· · ·+u9= 10× ×1+102 = 55.
Suites géométriques
de premier termeu0et de raison b: suite définie par un+1=b×un . On a alors un=u0×bn .
Exemple : On place, en l’an 2000, 200 euros à in- térêts composés : chaque année, les intérêts rapportent 5% du capital placé. On appelle un la somme que l’on a en l’an2000 +n. On a :
½ u0 = 200 un+1 = 1.05×un
carun+1=un+1005 ×un=un(1 + 1005 ) = 1.05×un. un définit une suite géométrique de premier terme 200 et de raison 1.05.
On a doncun = 200×1.05n.
Soit par exemple u4 = 200×1.054 ≈243.1 euros en 2004.
Proposition 1.2
Si S = uk +uk+1+· · ·+up est une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique (un) de raison b, Alors
S=(premier terme de S)×1−bnb de termes deS
1−b .
En particulier, si le terme initial estu1 alors u1+u2+· · ·un =u1×1−b1−bn
et si le terme initial estu0 alors u0+u1+· · ·un =u0×1−b1−bn+1
Exemple :Si un est la suite géométrique de premier terme u0= 1et de raison 2 alors
u0+u1+u2+· · ·+u9=u0×1−21−210 = 1023.
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