Suites arithmétiques et géométriques

Chapitre 6

Suites arithmétiques et géométriques

Les savoir-faire

130. Reconnaître une suite arithmétique.

131. Déterminer et utiliser l’expression explicite d’une suite arithmétique.

132. Calculer la somme des premiers termes d’une suite arithmétique.

133. Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.

134. Reconnaître une suite géométrique.

135. Déterminer et utiliser l’expression explicite d’une suite géométrique.

136. Calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique.

137. Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.

I. Suites arithmétiques

• Une suite est arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en ajoutant toujours un même nombrerappelé raison.

• Autrement dit, uest une suite arithmétique si, et seulement si pour tout entier natureln, un+1=un+r

Suite arithmétique

Si uest une suite arithmétique de raisonret de premier termeu0, alors pour tout entier natureln, un=u0+n×r

Expression explicite

u1

u0 u2 u3 ...

un un+1

+nr

+r +r +r +r

u0+ 2r u0+ 3r u0+nr u0+r

Exemples :

1.Déterminer l’expression générale de la suite arithmétique définie paru1= 5 etun+1=un+ 3. Vidéo 2.La suiteudéfinie parun= 7−9nest-elle arithmétique ? Vidéo

3.Déterminer la raison et le premier terme de la suite arithmétiqueutelle que :u5= 7 etu9= 19. Vidéo 1

Soitnun entier naturel non nul. Alors la somme des npremiers termes non nuls est : 1 + 2 + 3 +. . . .+n= n(n+ 1)

2 Somme des entiers de 1 à n

La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite arithmétique est telle que : S= (nombre de termes)×premier terme + dernier terme

2 Somme des termes d’une suite arithmétique

Exemples :

1.Calculer la sommeS= 15 + 16 + 17 +...+ 88. Vidéo 2.Calculer la sommeS= 33 + 36 + 39 +...+ 267. Vidéo

II. Suites géométriques

• Une suite est géométrique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au suivant en multipliant toujours par un même nombreqappelé raison.

• Autrement dit, vest une suite géométrique si, et seulement si pour tout entier natureln, vn+1=q×vn

Suite géométrique

Si uest une suite géométrique de raisonqet de premier termeu0, alors pour tout entier natureln, vn=v0×qⁿ

Expression explicite

v1

v0 v2 v3 ... _v

n vn+1

×qⁿ

×q ×q ×q ×q

v0×q² v0×q³ v0×qⁿ v0×q

Exemples :

1.Déterminer l’expression générale de la suite géométrique définie paru1= 5 etun+1= 2un. Vidéo 2.La suiteudéfinie parun= 3×5ⁿ⁺¹est-elle géométrique ? Vidéo

3.Déterminer la raison et le premier terme de la suite géométriqueutelle que : u7= 16 etu4= 2. Vidéo

Pour tout réelq non nul et différent de 1, pour tout entiern>1 : 1 +q+q²+. . . .+qⁿ =1−qⁿ⁺¹

1−q Somme des puissances successives

2

Soitqun nombre réel avecq6= 0 etq6= 1. La sommeS de plusieurs termes consécutifs d’une suite géométrique de raisonq est telle que :

S= (1^er terme)×1−qnombre de termes

1−q Somme des termes d’une suite géométrique

Exemple :

Calculer la sommeS= 3 + 3²+ 3³+...+ 3¹³. Vidéo

3