Suites arithmétiques et géométriques

(1)

Lycée Blaise Pascal

mars 2016

u

n

v

_n

Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 10 mars 2016 1 / 46

(2)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(3)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(4)

u

_n

n

Chaque personnage possède un rang n et porte une valeur u

n

. Que vaut u

n

?

(5)

Premier défilé

(6)

1 n = 1

1,5

n = 2

2 n = 3

2,5

n = 4

3 n = 5

3,5

n = 6

4 n = 7

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(7)

1,5

n = 2

2 n = 3

2,5

n = 4

3 n = 5

3,5

n = 6

4 n = 7

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(8)

2 n = 3

2,5

n = 4

3 n = 5

3,5

n = 6

4 n = 7

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(9)

2,5

n = 4

3 n = 5

3,5

n = 6

4 n = 7

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(10)

3 n = 5

3,5

n = 6

4 n = 7

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(11)

3,5

n = 6

4 n = 7

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(12)

4 n = 7

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(13)

4,5

n = 8

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(14)

5 n = 9

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(15)

5,5

n = 10

u

_n

= ?

n

(16)

u

_n

= ?

n

(17)

Deuxième défilé

(18)

2 n = 0

0 n = 1

-2

n = 2

-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(19)

0 n = 1

-2

n = 2

-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(20)

-2

n = 2

-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(21)

-4

n = 3

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(22)

-6

n = 4

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(23)

-8

n = 5

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(24)

-10

n = 6

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(25)

-12

n = 7

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(26)

-14

n = 8

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(27)

-16

n = 9

u

_n

= ?

n

(28)

u

_n

= ?

n

(29)

Revue générale

(30)

u

0

0 u

₀

+ r

1 u

0

+ 2 r

2 u

₀

+ 3 r

3 u

0

+ 4 r

4 u

₀

+ (n − 1) r

n − 1

u

0

+ nr

n

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(31)

u

₀

+ r

1 u

0

+ 2 r

2 u

₀

+ 3 r

3 u

0

+ 4 r

4 u

₀

+ (n − 1) r

n − 1

u

0

+ nr

n

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(32)

u

0

+ 2 r

2 u

₀

+ 3 r

3 u

0

+ 4 r

4 u

₀

+ (n − 1) r

n − 1

u

0

+ nr

n

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(33)

u

₀

+ 3 r

3 u

0

+ 4 r

4 u

₀

+ (n − 1) r

n − 1

u

0

+ nr

n

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(34)

u

0

+ 4 r

4 u

₀

+ (n − 1) r

n − 1

u

0

+ nr

n

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(35)

u

₀

+ (n − 1) r

n − 1

u

0

+ nr

n

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(36)

u

0

+ nr

n

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(37)

u

₀

+ (n + 1) r

n + 1

(38)

Changement de rang !

(39)

u

1

1 u

₁

+ r

2 u

1

+ 2 r

3 u

₁

+ 3 r

4 u

1

+ 4 r

5 u

₁

+ (n − 1) r

n

u

1

+ nr

n + 1

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(40)

u

₁

+ r

2 u

1

+ 2 r

3 u

₁

+ 3 r

4 u

1

+ 4 r

5 u

₁

+ (n − 1) r

n

u

1

+ nr

n + 1

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(41)

u

1

+ 2 r

3 u

₁

+ 3 r

4 u

1

+ 4 r

5 u

₁

+ (n − 1) r

n

u

1

+ nr

n + 1

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(42)

u

₁

+ 3 r

4 u

1

+ 4 r

5 u

₁

+ (n − 1) r

n

u

1

+ nr

n + 1

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(43)

u

1

+ 4 r

5 u

₁

+ (n − 1) r

n

u

1

+ nr

n + 1

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(44)

u

₁

+ (n − 1) r

n

u

1

+ nr

n + 1

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(45)

u

1

+ nr

n + 1

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(46)

u

₁

+ (n + 1) r

n + 2

(47)

v

_n

n

Chaque personnage possède un rang n et porte une valeur v

n

. Que vaut v

n

?

(48)

Premier défilé

(49)

0,5

n = 0

1 n = 1

2 n = 2

4 n = 3

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(50)

1 n = 1

2 n = 2

4 n = 3

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(51)

2 n = 2

4 n = 3

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(52)

4 n = 3

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(53)

8 n = 4

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(54)

16 n = 5

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(55)

32 n = 6

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(56)

64 n = 7

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(57)

128 n = 8

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(58)

256 n = 9

v

_n

= ?

n

(59)

v

_n

= ?

n

(60)

Deuxième défilé

(61)

4 n = 1

-2

n = 2

1 n = 3

− 1 2

n = 4

1 4

n = 5

− 1 8

n = 6

1 16

n = 7

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(62)

-2

n = 2

1 n = 3

− 1 2

n = 4

1 4

n = 5

− 1 8

n = 6

1 16

n = 7

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(63)

1 n = 3

− 1 2

n = 4

1 4

n = 5

− 1 8

n = 6

1 16

n = 7

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(64)

− 1 2

n = 4

1 4

n = 5

− 1 8

n = 6

1 16

n = 7

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(65)

1 4

n = 5

− 1 8

n = 6

1 16

n = 7

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(66)

− 1 8

n = 6

1 16

n = 7

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(67)

1 16

n = 7

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(68)

− 1 32

n = 8

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(69)

1 64

n = 9

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(70)

− 1 128

n = 10

v

_n

= ?

n

(71)

v

_n

= ?

n

(72)

Revue générale

(73)

v

0

0 v

₀

× q

1 v

₀

× q

2

2 v

₀

× q

³

3 v

₀

× q

4

4 v

₀

× q

ⁿ⁻¹

n − 1

v

₀

× q

n

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(74)

v

₀

× q

1 v

₀

× q

2

2 v

₀

× q

³

3 v

₀

× q

4

4 v

₀

× q

ⁿ⁻¹

n − 1

v

₀

× q

n

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(75)

v

₀

× q

2

2 v

₀

× q

³

3 v

₀

× q

4

4 v

₀

× q

ⁿ⁻¹

n − 1

v

₀

× q

n

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(76)

v

₀

× q

³

3 v

₀

× q

4

4 v

₀

× q

ⁿ⁻¹

n − 1

v

₀

× q

n

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(77)

v

₀

× q

4

4 v

₀

× q

ⁿ⁻¹

n − 1

v

₀

× q

n

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(78)

v

₀

× q

ⁿ⁻¹

n − 1

v

₀

× q

n

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(79)

v

₀

× q

n

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(80)

v

₀

× q

ⁿ⁺¹

n + 1

(81)

Changement de rang !

(82)

v

1

1 v

₁

× q

2 v

₁

× q

2

3 v

₁

× q

³

4 v

₁

× q

4

5 v

₁

× q

ⁿ⁻¹

n

v

₁

× q

n

n + 1

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(83)

v

₁

× q

2 v

₁

× q

2

3 v

₁

× q

³

4 v

₁

× q

4

5 v

₁

× q

ⁿ⁻¹

n

v

₁

× q

n

n + 1

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(84)

v

₁

× q

2

3 v

₁

× q

³

4 v

₁

× q

4

5 v

₁

× q

ⁿ⁻¹

n

v

₁

× q

n

n + 1

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(85)

v

₁

× q

³

4 v

₁

× q

4

5 v

₁

× q

ⁿ⁻¹

n

v

₁

× q

n

n + 1

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(86)

v

₁

× q

4

5 v

₁

× q

ⁿ⁻¹

n

v

₁

× q

n

n + 1

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(87)

v

₁

× q

ⁿ⁻¹

n

v

₁

× q

n

n + 1

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(88)

v

₁

× q

n

n + 1

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(89)

v

₁

× q

ⁿ⁺¹

n + 2

(90)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(111)

n n>0

que pour tout n :

r est alors appelé la de la suite (u

n

)

(112)

n n>0

que pour tout n :

r est alors appelé la de la suite (u

n

)

(113)

n n>0

que pour tout n :

u

n+1

= u

n

+ r r est alors appelé la de la suite (u

n

)

(114)

n n>0

que pour tout n :

u

n+1

= u

n

+ r r est alors appelé la raison de la suite (u

n

)

(115)

Suites arithmétiques

Propriété 1

Si (u

n

) est une suite arithmétique de raison r.

u0

0

u0+r

1

u₀ +2r

2

u0+ 3r

3

u₀ +4r

4

u0+ (n−1)r

n−1

u₀ +nr

n

u0+ (n+ 1)r

n+ 1

(116)

Suites arithmétiques

Propriété 1

Si (u

n

) est une suite arithmétique de raison r.

Pour tout n > 0, .

0

u0+r

1

+2r

2

u0+ 3r

3

+4r

4

+ (n−1)r

n−1

nr

n

+ (n+ 1)r

n+ 1

(117)

Suites arithmétiques

Propriété 1

Si (u

n

) est une suite arithmétique de raison r.

Pour tout n > 0, u

n

= u

0

+ nr .

0

u0+r

1

+2r

2

u0+ 3r

3

+4r

4

+ (n−1)r

n−1

nr

n

+ (n+ 1)r

n+ 1

(118)

Suites arithmétiques

Propriété 1

Si (u

n

) est une suite arithmétique de raison r.

Pour tout n > 0, u

n

= u

0

+ nr .

Pour tout n > 0 et .

0 1 2 3 4 n−1 n n+ 1

(119)

Suites arithmétiques

Propriété 1

Si (u

n

) est une suite arithmétique de raison r.

Pour tout n > 0, u

n

= u

0

+ nr .

Pour tout n > 0 et p > 0, u

n

= u

p

+ (n − p)r .

0 1 2 3 4 n−1 n n+ 1

(120)

Pour tout n > 0, u

n

= u

0

+ nr .

Pour tout n > 0 et p > 0, u

n

= u

p

+ (n − p)r .

u0

0

u0+r

1

u₀ +2r

2

u0+ 3r

3

u₀ +4r

4

u0+ (n−1)r

n−1

u₀ +nr

n

u0+ (n+ 1)r

n+ 1

(121)

Suites arithmétiques

Démonstration :

En sommant terme à terme les n égalités suivantes :

u

n

= u

n−1

+ r u

n−1

= u

n−2

+ r

. . .

u

2

= u

1

+ r u

1

= u

0

+ r

u

n

= u

0

+ nr

(122)

u

n

= u

n−1

+ r u

n−1

= u

n−2

+ r

. . .

u

2

= u

1

+ r u

1

= u

0

+ r

u

n

= u

0

+ nr

Remarque :

Si le premier terme de la suite est u

1

, on a, pour tout n > 1, .

(123)

u

n

= u

n−1

+ r u

n−1

= u

n−2

+ r

. . .

u

2

= u

1

+ r u

1

= u

0

+ r

u

n

= u

0

+ nr

Remarque :

Si le premier terme de la suite est u

1

, on a, pour tout n > 1, u

n

= u

1

+ (n − 1)r .

(124)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(125)

Suites arithmétiques

Propriété 2 Pour tout n > 1 :

2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1) 2S = n(n + 1)

S = n(n + 1) 2

(126)

Suites arithmétiques

Propriété 2 Pour tout n > 1 :

1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2

2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1) 2S = n(n + 1)

S = n(n + 1) 2

(127)

1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2 Démonstration :

S = 1 + 2 + · · · + (n − 1) + n S = n + (n − 1) + · · · + 2 + 1

2S = (n + 1) + (n + 1) . . . (n + 1) 2S = n(n + 1)

S = n(n + 1) 2

(128)

S = 1 + 2 + . . . + 99 + 100

= 100 × (100 + 1) 2

= 50 × 101

= 5 050

(129)

Suites arithmétiques

Propriété 3

Soit (u

n

) une suite arithmétique de premier terme u

0

et de raison r :

De façon générales on peut retenir :

(130)

Suites arithmétiques

Propriété 3

Soit (u

n

) une suite arithmétique de premier terme u

0

et de raison r :

S

n

= u

0

+ u

1

+ . . . + u

n

= (n + 1) × u

0

+ u

n

2 De façon générales on peut retenir :

(131)

S

n

= u

0

+ u

1

+ . . . + u

n

= (n + 1) × u

0

+ u

n

2 Remarque :

Si le premier terme de la suite est u

1

on a :

De façon générales on peut retenir :

(132)

S

n

= u

0

+ u

1

+ . . . + u

n

= (n + 1) × u

0

+ u

n

2 Remarque :

Si le premier terme de la suite est u

1

on a :

S

n

= u

1

+ u

2

+ . . . + u

n

= n × u

1

+ u

n

2 De façon générales on peut retenir :

(133)

S

n

= u

0

+ u

1

+ . . . + u

n

= (n + 1) × u

0

+ u

n

2 Remarque :

Si le premier terme de la suite est u

1

on a :

S

n

= u

1

+ u

2

+ . . . + u

n

= n × u

1

+ u

n

2 De façon générales on peut retenir :

S

n

= nombre de termes × premier terme + dernier terme 2

(134)

S

n

= u

0

+ u

1

+ . . . + u

n

= u

0

+ (u

0

+ r) + . . . + (u

0

+ nr)

= (n + 1)u

0

+ r(1 + 2 + . . . + n)

= (n + 1)u

0

+ r × n(n + 1) 2

= (n + 1) u

0

+ nr

2 = (n + 1) _u

₀

₊ _u

₀

₊ _nr 2

= (n + 1) _u

0

+ u

n

2

(135)

On considère la suite arithmétique définie par u

n

= −

2 n + 4 avec n > 0.

Calculer S

12

= u

0

+ u

1

+ . . . + u

12

(136)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(137)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(138)

n n>0

6= 0 tel que pour tout n :

q est alors appelé la de la suite (v

n

)

(139)

n n>0

6= 0 tel que pour tout n :

q est alors appelé la de la suite (v

n

)

(140)

n n>0

6= 0 tel que pour tout n :

v

n+1

= q × v

n

q est alors appelé la de la suite (v

n

)

(141)

n n>0

6= 0 tel que pour tout n :

v

n+1

= q × v

n

q est alors appelé la raison de la suite (v

n

)

(142)

Suites géométriques

Propriété 4

Si (v

n

) est une suite géométrique de raison q.

v0

0

v0×q

1

v0× q2

2

v0×q³

3

v0× q4

4

v0×qⁿ⁻¹

n−1

v₀

×qn

n

v0×qⁿ⁺¹

n+ 1

(143)

Suites géométriques

Propriété 4

Si (v

n

) est une suite géométrique de raison q.

Pour tout n > 0, .

0

v0×q

1

q2

2

v0×q³

3

q4

4

v0×q

n−1

qn

n

v0×q

n+ 1

(144)

Suites géométriques

Propriété 4

Si (v

n

) est une suite géométrique de raison q.

Pour tout n > 0, v

n

= v

0

× q

ⁿ

.

0

v0×q

1

q2

2

v0×q³

3

q4

4

v0×q

n−1

qn

n

v0×q

n+ 1

(145)

Suites géométriques

Propriété 4

Si (v

n

) est une suite géométrique de raison q.

Pour tout n > 0, v

n

= v

0

× q

ⁿ

.

Pour tout n > 0 et p > 0, .

0 1 2 3 4 n n+ 1

(146)

Suites géométriques

Propriété 4

Si (v

n

) est une suite géométrique de raison q.

Pour tout n > 0, v

n

= v

0

× q

ⁿ

.

Pour tout n > 0 et p > 0, v

n

= v

p

× q

^n−p

.

0 1 2 3 4 n n+ 1

(147)

Pour tout n > 0, v

n

= v

0

× q

ⁿ

.

Pour tout n > 0 et p > 0, v

n

= v

p

× q

^n−p

.

v0

0

v0×q

1

v0× q2

2

v0×q³

3

v0× q4

4

v0×qn−1

n−1

v₀

×qn

n

v0×qn+1

n+ 1

(148)

v

n

= q × v

n−1

v

n−1

= q × v

n−2

. . .

v

2

= q × v

1

v

1

= q × v

0

v

n

= q

ⁿ

× v

0

Remarque :

Si le premier terme de la suite est v

1

, on a, pour tout n > 1, .

(149)

v

n

= q × v

n−1

v

n−1

= q × v

n−2

. . .

v

2

= q × v

1

v

1

= q × v

0

v

n

= q

ⁿ

× v

0

Remarque :

Si le premier terme de la suite est v

1

, on a, pour tout n > 1, v

n

= v

1

× q

ⁿ⁻¹

.

(150)

1. Activités 1.1 Les défilés 1.2 Sommes faciles

2. Suites arithmétiques 2.1 Somme des termes

3. Suites géométriques

3.1 Formule de récurrence et terme général 3.2 Somme des termes

(151)

Suites géométriques

Propriété 5

Pour tout n > 0 et pour tout q 6= 0 et q 6= 1 :

S − qS = q

⁰

− q

ⁿ⁺¹

S(1 − q) = 1 − q

ⁿ⁺¹

S = 1 − q

ⁿ⁺¹

1 − q

(152)

Suites géométriques

Propriété 5

Pour tout n > 0 et pour tout q 6= 0 et q 6= 1 :

q

⁰

+ q

¹

+ . . . + q

ⁿ

= 1 − q

ⁿ⁺¹

1 − q

S − qS = q

⁰

− q

ⁿ⁺¹

S(1 − q) = 1 − q

ⁿ⁺¹

S = 1 − q

ⁿ⁺¹

1 − q

(153)

q

⁰

+ q

¹

+ . . . + q

ⁿ

= 1 − q

ⁿ⁺¹

1 − q Démonstration :

S = q

⁰

+ q

¹

+ · · · + q

ⁿ⁻¹

+ q

ⁿ

qS = q

¹

+ q

²

+ · · · + q

ⁿ

+ q

ⁿ⁺¹

S − qS = q

⁰

− q

ⁿ⁺¹

S(1 − q) = 1 − q

ⁿ⁺¹

S = 1 − q

ⁿ⁺¹

1 − q