Rappels sur les suites
1) Les suites arithmétiques
Dire qu’une suite ሺݑሻ est arithmétique signifie qu’il existe un nombre réel ݎ tel que, pour tout entier naturel ݊, ݑାଵ = ݑ+ ݎ. Ce nombre réel ݎ est appelé la raison de la suite ሺݑሻ.
Si ሺݑሻ est une suite arithmétique de premier terme ݑ et de raison ݎ, alors, pour tout entier naturel ݊, ݑ = ݑ + ݊ݎ.
Généralisation : Si ሺݑሻ est une suite arithmétique de raison ݎ, alors, pour tous entiers naturels ݊ et , ݑ = ݑ+ ሺ݊ − ሻݎ.
Soit ሺݑሻ une suite arithmétique de raison ݎ et de premier terme ݑ. Si ݎ > 0, alors lim
→ାஶݑ = +∞
Si ݎ < 0, alors lim
→ାஶݑ = −∞
Si ݎ = 0, alors ሺݑሻ converge vers ݑ car c’est une suite constante.
2) Les suites géométriques
Dire qu’une suite ሺݒሻ est géométrique signifie qu’il existe un nombre réel ݍ tel que, pour tout entier naturel ݊, ݒାଵ = ݒ× ݍ. Ce nombre réel ݍ est appelé la raison de la suite ሺݒሻ.
Si ሺݒሻ est une suite géométrique de premier terme ݒ et de raison ݍ, alors, pour tout entier naturel ݊, ݒ = ݒ× ݍ.
Généralisation : Si ሺݒሻ est une suite géométrique de raison ݍ, alors, pour tous entiers naturels ݊ et , ݒ = ݒ× ݍି.
Soit ሺݑሻ une suite géométrique de raison ݍ et de premier terme ݑ. Si ݍ > 1 et ݑ > 0, alors lim
→ାஶݑ = +∞
Si ݍ > 1 et ݑ < 0, alors lim
→ାஶݑ = −∞
Si ݍ = 1, alors lim
→ାஶݑ = ݑ Si −1 < ݍ < 1, alors lim
→ାஶݑ = 0
Si ݍ ≤ −1, alors la suite ሺݑሻஹ n’a pas de limite.
3) Les suites arithmético-géométriques
Dire qu’une suite ሺݑሻ est arithmético-géométrique signifie qu’il existe deux nombres réels ܽ et ܾ (ܽ ≠ 1ሻ tels que, pour tout entier naturel ݊, ݑାଵ = ܽݑ+ ܾ.
Si ሺݑሻ est une suite arithmético-géométrique de premier terme ݑ , alors, pour tout entier naturel ݊, ݑ = ܽሺݑ− ܿሻ + ܿ où ܿ = ܾ
1 − ܽ unique solution de lᇱéquation ݔ = ܽݔ + ܾ.
Généralisation : Si ሺݑሻ est une suite arithmético-géométrique, alors, pour tous entiers naturels ݊ et , ݑ = ܽି൫ݑ− ܿ൯ + ܿ où ܿ = ܾ
1 − ܽ unique solution de lᇱéquation ݔ = ܽݔ + ܾ.
Remarque : On retrouve ces formules en plusieurs étapes :
1) On résout l’équation caractéristique ݔ = ܽݔ + ܾ : on obtient le réel ܿ.
2) On étudie la suite ݒ = ݑ− ܿ et on montre qu’elle est géométrique de raison ܽ.
3) On donne la formule générale de ݒ : ݒ = ܽି× ݒ
4) On remplace dans ݑ : ݑ = ܽି× ݒ+ ܿ = ܽି× ൫ݑ− ܿ൯ + ܿ
Exemple : Entrainez-vous avec la suite ሺݑሻ définie par ݑଵ = 2 et ݑାଵ = 2ݑ− 3 On obtient : ݑ = −2ିଵ+ 3
4) Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Dire qu’une suite ሺݑሻ est récurrente linéaire d’ordre 2 signifie qu’il existe deux nombres réels ܽ et ܾ tels que, pour tout entier naturel ݊, ݑାଶ = ܽݑାଵ+ ܾݑ.
On détermine le terme général en plusieurs étapes :
1) On résout l’équation caractéristique ݔଶ = ܽݔ + ܾ ⇔ ݔଶ− ܽݔ − ܾ = 0
2) Si ∆ > 0 ∶ l’équation admet deux racines réelles ݔଵ et ݔଶ et dans ce cas : ݑ = ߙ × ݔଵ + ߚ × ݔଶ Si ∆ = 0 ∶ l’équation n’admet qu’une racine réelle ݔ et dans ce cas : ݑ = ሺߙ݊ + ߚሻ × ݔ
Si ∆ < 0 ∶ ce cas est hors programme car la suite s’exprime alors avec les fonctions sinus et cosinus…
3) On détermine les réels ߙ et ߚ en utilisant les deux premiers termes de la suite (en général ݑ et ݑଵ
mais ils peuvent être aussi ݑଵ et ݑଶ… ሻ : on obtient un système de deux équations à deux inconnues après avoir remplacé ݊ par 0 puis par 1 (ou par 1 puis par 2 …) dans l’expression obtenue à la 2ème étape.
Exemple : Entrainez-vous avec la suite ሺݑሻ définie par ݑ = −1, ݑଵ = 2 et ݑାଶ = 5ݑାଵ− 6ݑ
On obtient : ݑ = −5 × 2+ 4 × 3
5) Les suites adjacentes
Deux suites ሺݑሻ et ሺݒሻ sont adjacentes si : 1) L’une est croissante
2) L’autre est décroissante
3) La suite ሺݑ− ݒሻ converge vers 0.
Si deux suites sont adjacentes alors elles sont convergentes et de même limite ℓ.
Si deux suites ሺݑሻ et ሺݒሻ sont adjacentes, si ሺݑሻ est la suite croissante et ሺݒሻ la suite décroissante, alors :
Pour tout entier naturel ݊, ݑ ≤ ℓ ≤ ݒ.
