Suites arithmétiques. Suites géométriques

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Définition. Définition.

• (u_n) est une suite arithmétique si et seulement si il existe un réelrtel que, pour tout entier natureln,

• (u_n) est une suite géométrique si et seulement si il existe un réelq tel que, pour tout entier natureln,

un+1=un+r. un+1=un×q.

• (u_n)est une suite arithmétique si et seulement si la suite

• Si la suite(u_n)ne s’annule pas, la suite (u_n)est une suite géométrique si et seulement si la suite

(u_n+1−u_n)est constante. (u_n+1

u_n )est constante.

Expression deu_n en fonction den. Expression de u_n en fonction de n.

• Si la suite(u_n)est arithmétique de premier termeu0

et de raisonr, pour tout entier natureln,

• Si la suite(u_n)est géométrique de premier terme u0

et de raisonq, pour tout entier natureln,

un=u0+nr. un=u0×qⁿ.

• Les suites arithmétiques sont les suites de la forme • Les suites géométriques sont les suites de la forme

(an+b)ⁿ^∈N (a×bⁿ)ⁿ^∈N

oùaetbsont deux réels (ou deux complexes). oùaetb sont deux réels (ou deux complexes).

• Pour tous entiers naturelsn etp, • Pour tous entiers naturelsnetp,

u_n=u_p+ (n−p)r. u_n=u_p×qⁿ⁻^p

(pourq≠0 sin⩾p).

Suites arithmétiques et moyennes arithmétiques. Suites géométriques et moyennes géométriques.

• Pour tout entier naturelnnon nul, • Pour tout entier naturelnnon nul, u_n−1+u_n+1=2u_n et u_n= u_n−1+u_n+1

2 . u_n−1×u_n+1=u²_n etu_n= √u_n−1u_n+1, (si(u_n)est une suite positive).

Sommes de termes consécutifs d’une suite arith- métique.

Sommes de termes consécutifs d’une suite géo- métrique.

• Pour tout entier naturel non nuln, • Pour tout entier naturel n et tout nombre réel (ou complexe)q,

1+2+. . .+n=n(n+1) 2

1+q+q²+. . .+qⁿ=⎧⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎩

1−qⁿ⁺¹ 1−q siq≠1 n+1siq=1

• Pour tous entiers naturelsn etptels que p⩽n, • Pour tous entiers naturelsnetptels quep⩽n, u_p+u_p+1+. . .+u_n= (u_p+u_n)(n−p+1)

2 u_p+u_p+1+. . .+u_n=u_p1−qⁿ⁻^p⁺¹

1−q (siq≠1)

= (1er terme+dernier terme) × (nombre de termes)

2 . = (1er terme) ×1−qnombre de termes

1−q .