Chapitre 10
Suites arithmétiques et géométriques
Les savoir-faire
140. Déterminer le sens de variation d’une suite.
141. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique.
142. Conjecturer la limite éventuelle d’une suite.
I. Sens de variation d’une suite
1. Définition
• On dit qu’une suite (un)n∈Nest croissantesi et seulement si : pour tout entiern∈N,un+1>un.
• On dit qu’une suite (un) estdécroissantesi et seulement si : pour tout entiern∈N,un+16un.
• On dit que la suite (un) estconstantesi et seulement si pour tout entiern∈N,un+1=un.
• Une suite est ditemonotonelorsqu’elle est croissante ou décroissante.
Définition
Exemples :
1.On donne la suite udéfinie parun=n2−4n+ 4. Vidéo Démontrer que la suiteuest croissante à partir d’un certain rang.
2.On donne la suite udéfinie parun= 1
n(n+ 1). Démontrer que la suiteuest décroissante. Vidéo
2. Variations d’une suite arithmétique
Soit (un) une suite arithmétique de raisonr. Alors :
— sir >0,uest strictement croissante ;
— sir <0,uest strictement décroissante ;
— sir= 0,uest constante.
Propriété
Exemples :
Etudier les variations des suites arithmétiquesuetv définies par :
a. un = 3 + 5n.
b.
(vn+1 =vn−4
v0=−3 Vidéo
1
3. Variations d’une suite géométrique
Soituune suite géométrique de raisonqtelle queq >0,q6= 0 etq6= 1.
Pour u0>0 :
— si 0< q <1,uest strictement décroissante ;
— siq >1,uest strictement croissante ;
— siq= 1,uest constante.
Pour u0<0 :
— si 0< q <1,uest strictement croissante ;
— siq >1,uest strictement décroissante ;
— siq= 1,uest constante.
Suites géométriques
Exemples :
Etudier les variations des suites géométriquesuetv définies par :
a. un =−4×2n.
b.
vn+1=1 2vn
v0=−2 Vidéo
II. Notion de limite
1. Approche
S’intéresser à la limite d’une suite u, c’est étudier le comportement des termes un lorsquen prend des valeurs de plus en plus grandes. Des exemples nous permettent de conjecturer diverses situations.
2. Suites ayant pour limite un nombre réel
Une suiteua pour limite un nombre réelℓquandntend vers +∞, si tous les termesundeviennent aussi proches deℓque l’on veut, à condition de prendrensuffisamment grand.
rang à partir duquel tous les points sont dans la bande choisie
p
n u
nI ℓ
O
Exemple : un= 1
n : sa limite est 0 (on peut rendre 1
n aussi proche de 0 que l’on veut à condition de prendrensuffisamment grand).
2
3. Suites ayant pour limite + ∞ (ou −∞ )
Une suiteua pour limite +∞quandntend vers +∞, si ses termes un deviennent aussi grand que l’on veut à condition de prendrensuffisamment grand.
rang à partir duquel tous les un
sont supérieurs à M
p
n
u
nM
O
Exemple :
un=n2. Sa limite est +∞. Pour tout réelM, on peut rendren2 >M à condition de prendren suffisamment grand.
4. Suites n’ayant pas de limite
Certaines suites n’ont pas de limite.
Par exemple, la suiteu définie parun = sinnpour n>0 et représentée ci-dessous n’a pas de limite quand n tend vers +∞.
-1 -0.5 0.5 1
20 40 60 80 100
n
u n
O
Exemples :
On considère les suitesuetv définies par : un=2n+ 1
n et vn=n2+ 1.
Conjecturer les limites de ces deux suites.Vidéo
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