Comportement global d’une suite

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Comportement global d’une suite www.mathGM.fr Les savoir-faire Sens de variation d’une suite Notion de limite

Comportement global d’une suite

www.mathGM.fr

Lycée Louise Michel (Gisors)

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Les savoir-faire

140. Déterminer le sens de variation d’une suite.

141. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique ou géométrique.

142. Conjecturer la limite éventuelle d’une suite.

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Définition

•On dit qu’une suite(un)^n∈Nestcroissantesi et seulement

si : pour tout entiern∈N, .

•On dit qu’une suite(un)estdécroissantesi et seulement

• On dit que la suite(un) estconstantesi et seulement si pour tout entiern∈N, .

• Une suite est ditemonotonelorsqu’elle est croissante ou décroissante.

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Définition

•On dit qu’une suite(un)^n∈Nestcroissantesi et seulement si : pour tout entiern∈N,un+1>un.

•On dit qu’une suite(un)estdécroissantesi et seulement

Exemples

1.On donne la suiteudéfinie paru_n=n²−4n+ 4. Vidéo Démontrer que la suiteuest croissante à partir d’un certain rang.

2.On donne la suiteudéfinie paru_n= 1

n(n+ 1). Démontrer que la suiteuest décroissante. Vidéo

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Définition

•On dit qu’une suite(un)estdécroissantesi et seulement si : pour tout entiern∈N,un+16un.

Exemples

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Définition

•On dit qu’une suite(un)estdécroissantesi et seulement si : pour tout entiern∈N,un+16un.

• On dit que la suite(un) estconstantesi et seulement si pour tout entiern∈N,un+1=un.

Exemples

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Variations d’une suite arithmétique

Propriété

Soit(un)une suite arithmétique de raisonr. Alors :

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Variations d’une suite arithmétique

Propriété

Soit(un)une suite arithmétique de raisonr. Alors : sir >0,uest strictement croissante ;

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Variations d’une suite arithmétique

Propriété

sir <0,uest strictement décroissante ;

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Variations d’une suite arithmétique

Propriété

sir <0,uest strictement décroissante ; sir= 0,uest constante.

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Variations d’une suite arithmétique

Propriété

Exemples

Etudier les variations des suites arithmétiquesuetvdéfinies par :

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Variations d’une suite arithmétique

Propriété

Exemples

Etudier les variations des suites arithmétiquesuetvdéfinies par : a. u_n= 3 + 5n.

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Variations d’une suite arithmétique

Propriété

Exemples

Etudier les variations des suites arithmétiquesuetvdéfinies par : a. u_n= 3 + 5n.

b.

ßv_n+1=vn−4 v₀=−3 Vidéo

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Variations d’une suite géométrique

Suites géométriques

Soit u une suite géométrique de raison q telle que q > 0, q6= 0etq6= 1.

Pouru0>0:

Pouru₀<0:

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Variations d’une suite géométrique

Pouru0>0:

si0< q <1,uest strictement décroissante ;

Pouru₀<0:

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Variations d’une suite géométrique

Pouru0>0:

si0< q <1,uest strictement décroissante ; siq >1,uest strictement croissante ; Pouru₀<0:

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Variations d’une suite géométrique

Pouru0>0:

si0< q <1,uest strictement décroissante ; siq >1,uest strictement croissante ; siq= 1,uest constante.

Pouru₀<0:

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Variations d’une suite géométrique

Pouru0>0:

Pouru₀<0:

si0< q <1,uest strictement croissante ;

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Variations d’une suite géométrique

Pouru0>0:

Pouru₀<0:

si0< q <1,uest strictement croissante ; siq >1,uest strictement décroissante ;

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Variations d’une suite géométrique

Pouru0>0:

Pouru₀<0:

si0< q <1,uest strictement croissante ; siq >1,uest strictement décroissante ; siq= 1,uest constante.

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Variations d’une suite géométrique

Exemples

Etudier les variations des suites géométriquesuetvdéfinies par :

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Variations d’une suite géométrique

Exemples

Etudier les variations des suites géométriquesuetvdéfinies par : a. u_n=−4×2ⁿ.

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Variations d’une suite géométrique

Exemples

Etudier les variations des suites géométriquesuetvdéfinies par : a. u_n=−4×2ⁿ.

b.

®

v_n+1=1 2v_n v₀=−2

Vidéo

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Approche

S’intéresser à la limite d’une suiteu, c’est étudier le comportement des termesunlorsquenprend des valeurs de plus en plus grandes. Des exemples nous permettent de conjecturer diverses situations.

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Suites ayant pour limite un nombre réel

Une suiteua pour limite un nombre réelℓquandntend vers +∞, si tous les termesundeviennent aussi proches deℓque l’on veut, à condition de prendren suffisamment grand.

rang à partir duquel tous les points sont dans la bande choisie

p

n un

Iℓ

O

Exemple : un= 1

n: sa limite est 0 (on peut rendre 1

n aussi proche de 0 que l’on veut à condition de prendrensuffisamment grand).

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Suites ayant pour limite + ∞ (ou −∞ )

Une suiteua pour limite+∞quandntend vers+∞, si ses termesun deviennent aussi grand que l’on veut à condition de prendrensuffisamment grand.

rang à partir duquel tous lesun sont supérieurs à M

p n

un

M

O

Exemple :

u_n=n². Sa limite est+∞. Pour tout réelM, on peut rendren²≥M à condition de prendrensuffisamment grand.

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Suites n’ayant pas de limite

Certaines suites n’ont pas de limite.

Par exemple, la suiteudéfinie parun= sinnpourn>0et représentée ci-dessous n’a pas de limite quand n tend vers +∞.

-1 -0.5 0.5 1

20 40 60 80 100n

un

O

Exemples

On considère les suitesuetvdéfinies par : u_n= 2n+ 1

n etv_n=n²+ 1.

Conjecturer les limites de ces deux suites.Vidéo