Étudier, suivant la valeur de u 0 , la suite dénie par

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites particulières

1.

^(Esr01)

Étudier, suivant la valeur de u 0 , la suite dénie par

u n+1 = u ³ _n + 6u n

3u ² _n + 2 u n+1 =

r 1

2 (u ² _n + 7u n ) − 1 u n+1 = ln(1 + 2u n ) u n+1 =

q u n + p

1 + u ² _n u _n+1 = 3

4 u ³ _n + 1 4 u _n

2.

^(Esr02)

Récurrence homographique

Les suites considérées ici sont à valeurs complexes.

Soit a, b, c, d des nombres complexes tels que c 6= 0 et δ = ad − bc 6= 0 . On considère une fonction homographique f dénie dans C \ {− ^d _c } par :

f (z) = az + b cz + d

ainsi que l'équation du second degré en x : x = ax + b

cx + d (E)

caractérisant les points xes de f . Dans toute la suite, on supposera que une suite (u _n ) _n∈

_N

vérie une relation de récurrence homographique ; c'est à dire que :

∀n ∈ N , u n+1 = au _n + b

cu n + d = f (u n ) a. Montrer que

f(x) = a

c − δ

c(cx + d)

En déduire des expressions factorisées pour f(x) − f(y) et f

⁰

(x) (avec x réel dans le dernier cas).

b. Dans cette question, on suppose que (E) admet deux racines distinctes α et β . On dénit g n par :

g _n = u n − α u _n − β

i. Montrer que, si u 0 6= β , alors u n 6= β pour tout n . Montrer que (g) _n∈

_N

est une suite géo- métrique. Préciser la raison.

ii. Exprimer u _n en fonction de g _n .

Quels sont les comportements possibles pour la suite (u n ) _n∈

_N

?

iii. Ici, a , b , c , d sont réels et les deux points xes sont réels. Calculer f

⁰

(α)f

⁰

(β) .

c. Dans cette question, on suppose que (E) admet une racine double α . On dénit a n par :

a n = 1 u n − α

i. Montrer que, si u ₀ 6= α , alors u _n 6= α pour tout n et (a _n ) _n∈

_N

est une suite arithmétique.

ii. Exprimer u n en fonction de a n , en déduire sa limite.

d. Exemples.

u _n+1 = 4u n + 2

u _n + 5 , u _n+1 = 7u n − 12

3u _n − 5 , u _n+1 = 1 1 − u _n Dans le dernier exemple, comparer u n+3 avec u n . 3.

^(Esr03)

Applications contractantes

On dira qu'une application est contractante lorsqu'elle est lipschitzienne de rapport k avec 0 < k1 . On consi- dère ici une application contractante dénie dans un in- tervalle stable I fermé.

Par intervalle fermé, on désigne un intervalle de la forme R , ] − ∞, a], [a, +∞[, [a, b]

On dénit une suite (x n ) _n∈

N

par :

∀n ∈ N : x n+1 = f (x n )

avec une condition initiale x 0 quelconque dans I . a. Montrer que f admet au plus un point xe.

b. On introduit les notations suivantes :

u n = |x n+1 − x n |, U n = u 0 + u 1 + · · · + u n

Montrer que la suite (U n ) _n∈N est majorée par _1−k ^u

⁰

. c. On pose de plus

¹

a n = (x n+1 − x n ) + , A n = a 0 + a 1 + · · · + a n

b _n = (x _n+1 − x _n )

₋

, B _n = b ₀ + b ₁ + · · · + b _n Montrer que les deux suites (A n ) _n∈

N

et (B n ) _n∈

sont convergentes. En déduire la convergence de

N

(x n ) _n∈

N

.

d. Formuler un résultat relatif à une fonction contrac- tante dans un intervalle stable et fermé.

4.

^(Esr04)

Soit a et b réels strictement positifs xés. Déter- miner une condition nécessaire et susante sur u 0 et v 0 pour que les suites (u n ) _n∈

N

et (v n ) _n∈

N

dénies par récurrence par

∀n ∈ N , u _n+1 = p

a + bu _n , v _n+1 = p

a + bv _n , soient adjacentes.

1

On utilise une méthode analogue pour la dénition de la fonction ex- ponentielle dans la feuille d'exercices sur les suites à valeurs complexes.

Il s'agit d'une méthode accessible en première année pour contourner la notion de suite de Cauchy.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_srpdf du 28 février 2020

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites particulières : corrigés

1. pas de correction pour Esr01.tex 2. pas de correction pour Esr02.tex 3. pas de correction pour Esr03.tex

4.

^(Csr04)

Dénissons des fonction f et ϕ dans

f :





 h − a

b , +∞ h

→ R x 7→ √

a + bx

, ϕ(x) = f(x) − x

La fonction f est croissante et admet un unique point xe

c = b + p b ² + 4a On peut déterminer le signe de f (x) − x .

− ^a _b c +∞

f (x) − x + 0 −

On se trouve dans le cas de l'étude traitée en cours. La condition assurant que les suites sont adjacentes est donc

u 0 < c < v 0 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai _fex_srpdf du 28 février 2020

Étudier, suivant la valeur de u 0 , la suite dénie par

Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites particulières

1.

Étudier, suivant la valeur de u 0 , la suite dénie par

u n+1 = u 3 n + 6u n

3u 2 n + 2 u n+1 =

r 1

2 (u 2 n + 7u n ) − 1 u n+1 = ln(1 + 2u n ) u n+1 =

q u n + p

1 + u 2 n u n+1 = 3

4 u 3 n + 1 4 u n

2.

Récurrence homographique

Les suites considérées ici sont à valeurs complexes.

Soit a, b, c, d des nombres complexes tels que c 6= 0 et δ = ad − bc 6= 0 . On considère une fonction homographique f dénie dans C \ {− d c } par :

f (z) = az + b cz + d

ainsi que l'équation du second degré en x : x = ax + b

cx + d (E)

caractérisant les points xes de f . Dans toute la suite, on supposera que une suite (u n ) n∈

vérie une relation de récurrence homographique ; c'est à dire que :

∀n ∈ N , u n+1 = au n + b

cu n + d = f (u n ) a. Montrer que

f(x) = a

c − δ

c(cx + d)

En déduire des expressions factorisées pour f(x) − f(y) et f

(x) (avec x réel dans le dernier cas).

b. Dans cette question, on suppose que (E) admet deux racines distinctes α et β . On dénit g n par :

g n = u n − α u n − β

i. Montrer que, si u 0 6= β , alors u n 6= β pour tout n . Montrer que (g) n∈

est une suite géo- métrique. Préciser la raison.

ii. Exprimer u n en fonction de g n .

Quels sont les comportements possibles pour la suite (u n ) n∈

?

iii. Ici, a , b , c , d sont réels et les deux points xes sont réels. Calculer f

(α)f

(β) .

c. Dans cette question, on suppose que (E) admet une racine double α . On dénit a n par :

a n = 1 u n − α

i. Montrer que, si u 0 6= α , alors u n 6= α pour tout n et (a n ) n∈

est une suite arithmétique.

ii. Exprimer u n en fonction de a n , en déduire sa limite.

d. Exemples.

u n+1 = 4u n + 2

u n + 5 , u n+1 = 7u n − 12

3u n − 5 , u n+1 = 1 1 − u n Dans le dernier exemple, comparer u n+3 avec u n . 3.

Applications contractantes

On dira qu'une application est contractante lorsqu'elle est lipschitzienne de rapport k avec 0 < k1 . On consi- dère ici une application contractante dénie dans un in- tervalle stable I fermé.

Par intervalle fermé, on désigne un intervalle de la forme R , ] − ∞, a], [a, +∞[, [a, b]

On dénit une suite (x n ) n∈

par :

∀n ∈ N : x n+1 = f (x n )

avec une condition initiale x 0 quelconque dans I . a. Montrer que f admet au plus un point xe.

b. On introduit les notations suivantes :

u n = |x n+1 − x n |, U n = u 0 + u 1 + · · · + u n

Montrer que la suite (U n ) n∈N est majorée par 1−k u

. c. On pose de plus

a n = (x n+1 − x n ) + , A n = a 0 + a 1 + · · · + a n

b n = (x n+1 − x n )

, B n = b 0 + b 1 + · · · + b n Montrer que les deux suites (A n ) n∈

et (B n ) n∈

sont convergentes. En déduire la convergence de

(x n ) n∈

.

d. Formuler un résultat relatif à une fonction contrac- tante dans un intervalle stable et fermé.

4.

Soit a et b réels strictement positifs xés. Déter- miner une condition nécessaire et susante sur u 0 et v 0 pour que les suites (u n ) n∈

et (v n ) n∈

dénies par récurrence par

∀n ∈ N , u n+1 = p

a + bu n , v n+1 = p

a + bv n , soient adjacentes.

On utilise une méthode analogue pour la dénition de la fonction ex- ponentielle dans la feuille d'exercices sur les suites à valeurs complexes.

Il s'agit d'une méthode accessible en première année pour contourner la notion de suite de Cauchy.

1

Lycée Hoche MPSI B Feuille Suites particulières : corrigés

1. pas de correction pour Esr01.tex 2. pas de correction pour Esr02.tex 3. pas de correction pour Esr03.tex

4.

Dénissons des fonction f et ϕ dans

f :

u n+1 = u ³ _n + 6u n

3u ² _n + 2 u n+1 =

2 (u ² _n + 7u n ) − 1 u n+1 = ln(1 + 2u n ) u n+1 =

1 + u ² _n u _n+1 = 3

4 u ³ _n + 1 4 u _n

Soit a, b, c, d des nombres complexes tels que c 6= 0 et δ = ad − bc 6= 0 . On considère une fonction homographique f dénie dans C \ {− ^d _c } par :

caractérisant les points xes de f . Dans toute la suite, on supposera que une suite (u _n ) _n∈

∀n ∈ N , u n+1 = au _n + b

g _n = u n − α u _n − β

i. Montrer que, si u 0 6= β , alors u n 6= β pour tout n . Montrer que (g) _n∈

ii. Exprimer u _n en fonction de g _n .

Quels sont les comportements possibles pour la suite (u n ) _n∈

i. Montrer que, si u ₀ 6= α , alors u _n 6= α pour tout n et (a _n ) _n∈

u _n+1 = 4u n + 2

u _n + 5 , u _n+1 = 7u n − 12

3u _n − 5 , u _n+1 = 1 1 − u _n Dans le dernier exemple, comparer u n+3 avec u n . 3.

On dénit une suite (x n ) _n∈

Montrer que la suite (U n ) _n∈N est majorée par _1−k ^u

b _n = (x _n+1 − x _n )

, B _n = b ₀ + b ₁ + · · · + b _n Montrer que les deux suites (A n ) _n∈

et (B n ) _n∈

(x n ) _n∈

Soit a et b réels strictement positifs xés. Déter- miner une condition nécessaire et susante sur u 0 et v 0 pour que les suites (u n ) _n∈

et (v n ) _n∈

∀n ∈ N , u _n+1 = p

a + bu _n , v _n+1 = p

a + bv _n , soient adjacentes.

c = b + p b ² + 4a On peut déterminer le signe de f (x) − x .

− ^a _b c +∞