de deux réels strictement positifs par :

(1)

MPSI B 2009-2010. DM 9 1

^er

septembre 2019

Problème 1.

On dénit la somme parallèle

¹

de deux réels strictement positifs par :

∀(a, b) ∈ ]0, +∞[ ² , a//b = ab a + b .

1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que

(a//b)x ² = inf{ay ² + bz ² , (y, z) ∈ R ² tq y + z = x}

Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?

Si oui, pour quels couples (y 0 , z 0 ) la relation (a//b)x ² = ay ² ₀ + bz ₀ ² est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et

z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.

4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x ² + (b//d)x ² ≤ ((a + b)//(c + d))x ² .

Interpréter physiquement cette inégalité.

5. Soient α 1 , α 2 , . . . , α k et β 1 , β 2 , . . . , β k des réels strictement positifs. Montrer que

k

X

i=1

(α i //β i ) ≤

k

X

i=1

α i

! //

k

X

i=1

β i

! .

Problème 2.

Soit T l'ensemble des suites croissantes de nombres entiers supérieurs ou égaux à 2.

À chaque suite (q _n ) _n∈

_N^∗

élément de T on associe la suite (s _n ) _n∈

_N^∗

dénie par : s ₁ = 1

q 1

, s ₂ = 1 q 1

+ 1 q 1 q 2

, · · · , s _n = 1 q 1

+ 1 q 1 q 2

+ · · · + 1 q 1 q 2 · · · q n

1. a. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. Montrer que ( P n k=1

1 λ

^k

) n∈

N^∗

est convergente et que sa limite est un élément de i

1 λ , _λ−1 ¹ i

.

1

d'après X 99 PC 1

b. Montrer que

∀p ∈ N

^∗

, ∀n ≥ p, s _n ≤ s _p−1 + 1

q ₁ · · · q _p−1 (q _p − 1)

c. Démontrer que, pour toute suite (q _n ) _n∈

_N^∗

élément de T la suite (s _n ) _n∈

_N^∗

converge et que sa limite x est un élément de ]0, 1] . On dira, dans la suite du problème, que (q _n ) _n∈

_N^∗

est un développement de Engel de x .

2. a. Soit (q _n ) _n∈

_N^∗

une suite stationnaire de T . Montrer que x est un nombre rationnel.

b. Montrer

q 1 = 1 + b 1

x c et ∀k ∈ N

^∗

, q k+1 − 1 =

1 q 1 q 2 · · · q k (x − s k )

3. a. Soit (q n ) n∈

N^∗

et (q _n

⁰

) n∈

N^∗

deux suites dans T . Les suites qui leurs sont respective- ment associées sont notées (s n ) n∈

N^∗

et (s

⁰

_n ) n∈

N^∗

de limites x et x

⁰

. On suppose :

∃p ∈ N

^∗

tq q p < q

⁰

_p et ∀n ∈ {1, . . . , p − 1} , q n = q _n

⁰

Montrer que x

⁰

< x .

b. Montrer que l'application de T dans ]0, 1] qui, à chaque suite (q _n ) _n∈

_N^∗

, associe la limite de (s _n ) _n∈

_N^∗

est injective.

4. Fonction de Briggs.

On dénit une fonction β dans [0, 1[ par :

∀x ∈]0, 1[: β(x) =







0 si x = 0

qx − 1 avec q = b 1

x c + 1 si x > 0 a. Montrer que 0 < β(x) ≤ x pour x ∈]0, 1[ .

b. En un point x de ]0, 1[ , étudier les limites à gauche et à droite (strictement ou largement). Préciser les points où β est continue, les points où β (x) = x , quelle est la limite strictement à droite de ces points ?

c. La fonction β est-elle continue en 0 ? d. Tracer le graphe de β .

5. Algorithme de Briggs

Pour tout x de ]0, 1[ et tout entier n , on pose x n = β ◦ · · · ◦ β

| {z }

n

fois

(x) = β ⁿ (x) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M0909E

(2)

MPSI B 2009-2010. DM 9 1

^er

septembre 2019

a. Montrer que la suite (x n ) _n∈N est convergente. Dans tout le reste du problème, cette limite est notée r(x) .

b. Soit x ∈]0, 1[ tel que r(x) > 0 , montrer qu'il existe q et N entiers tels que :

∀n ≥ N : x n = 1 q

6. a. Montrer que tout x ∈]0, 1[ admet un unique développement de Engel.

b. Soient a et b deux entiers naturels tels que 0 < a < b . Montrer que β( a

b ) = a − r b

où r est le reste de la division euclidienne de b par a .

c. Montrer que le développement de Engel d'un nombre est stationnaire si et seule- ment si ce nombre est rationnel.

7. Déterminer la suite (q _n ) _n∈

_N^∗

telle que la limite de la suite (s _n ) _n∈

_N^∗

associée soit x = 1

2 (1) x = 3

4 (2)

8. Soit x l'approximation décimale de _π ¹ fournie par votre calculatrice. Calculer, en jus- tiant, les premiers entiers q 1 , q 2 , · · · , q n jusqu'à ce que

1 q ₁ q ₂ · · · q _n < 10

⁻¹⁰

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai M0909E

de deux réels strictement positifs par :

MPSI B 2009-2010. DM 9 1

septembre 2019

Problème 1.

On dénit la somme parallèle

de deux réels strictement positifs par :

∀(a, b) ∈ ]0, +∞[ 2 , a//b = ab a + b .

1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que

(a//b)x 2 = inf{ay 2 + bz 2 , (y, z) ∈ R 2 tq y + z = x}

Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?

Si oui, pour quels couples (y 0 , z 0 ) la relation (a//b)x 2 = ay 2 0 + bz 0 2 est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et

z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.

4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x 2 + (b//d)x 2 ≤ ((a + b)//(c + d))x 2 .

Interpréter physiquement cette inégalité.

5. Soient α 1 , α 2 , . . . , α k et β 1 , β 2 , . . . , β k des réels strictement positifs. Montrer que

k

X

i=1

(α i //β i ) ≤

k

X

i=1

α i

! //

k

X

i=1

β i

! .

Problème 2.

Soit T l'ensemble des suites croissantes de nombres entiers supérieurs ou égaux à 2.

À chaque suite (q n ) n∈

élément de T on associe la suite (s n ) n∈

dénie par : s 1 = 1

q 1

, s 2 = 1 q 1

+ 1 q 1 q 2

, · · · , s n = 1 q 1

+ 1 q 1 q 2

+ · · · + 1 q 1 q 2 · · · q n

1. a. Soit λ un nombre réel strictement supérieur à 1. Montrer que ( P n k=1

1

λ

) n∈

est convergente et que sa limite est un élément de i

1 λ , λ−1 1 i

.

d'après X 99 PC 1

b. Montrer que

∀p ∈ N

, ∀n ≥ p, s n ≤ s p−1 + 1

q 1 · · · q p−1 (q p − 1)

c. Démontrer que, pour toute suite (q n ) n∈

élément de T la suite (s n ) n∈

converge et que sa limite x est un élément de ]0, 1] . On dira, dans la suite du problème, que (q n ) n∈

est un développement de Engel de x .

2. a. Soit (q n ) n∈

une suite stationnaire de T . Montrer que x est un nombre rationnel.

b. Montrer

q 1 = 1 + b 1

x c et ∀k ∈ N

, q k+1 − 1 =

1

q 1 q 2 · · · q k (x − s k )

3. a. Soit (q n ) n∈

et (q n

) n∈

deux suites dans T . Les suites qui leurs sont respective- ment associées sont notées (s n ) n∈

et (s

n ) n∈

de limites x et x

. On suppose :

∃p ∈ N

tq q p < q

p et ∀n ∈ {1, . . . , p − 1} , q n = q n

Montrer que x

< x .

b. Montrer que l'application de T dans ]0, 1] qui, à chaque suite (q n ) n∈

, associe la limite de (s n ) n∈

est injective.

∀(a, b) ∈ ]0, +∞[ ² , a//b = ab a + b .

(a//b)x ² = inf{ay ² + bz ² , (y, z) ∈ R ² tq y + z = x}

Si oui, pour quels couples (y 0 , z 0 ) la relation (a//b)x ² = ay ² ₀ + bz ₀ ² est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et

4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x ² + (b//d)x ² ≤ ((a + b)//(c + d))x ² .

À chaque suite (q _n ) _n∈

élément de T on associe la suite (s _n ) _n∈

dénie par : s ₁ = 1

, s ₂ = 1 q 1

, · · · , s _n = 1 q 1

1 λ , _λ−1 ¹ i

, ∀n ≥ p, s _n ≤ s _p−1 + 1

q ₁ · · · q _p−1 (q _p − 1)

c. Démontrer que, pour toute suite (q _n ) _n∈

élément de T la suite (s _n ) _n∈

converge et que sa limite x est un élément de ]0, 1] . On dira, dans la suite du problème, que (q _n ) _n∈

2. a. Soit (q _n ) _n∈

et (q _n

_n ) n∈

_p et ∀n ∈ {1, . . . , p − 1} , q n = q _n

b. Montrer que l'application de T dans ]0, 1] qui, à chaque suite (q _n ) _n∈

, associe la limite de (s _n ) _n∈

(x) = β ⁿ (x) .

a. Montrer que la suite (x n ) _n∈N est convergente. Dans tout le reste du problème, cette limite est notée r(x) .

7. Déterminer la suite (q _n ) _n∈

telle que la limite de la suite (s _n ) _n∈

8. Soit x l'approximation décimale de _π ¹ fournie par votre calculatrice. Calculer, en jus- tiant, les premiers entiers q 1 , q 2 , · · · , q n jusqu'à ce que

q ₁ q ₂ · · · q _n < 10