Fractions et développement décimal : corrigé
Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers, par exemple 3 1 53 7, , ,
4 3 11
− . Un nombre décimal est un nombre dont le développement n’utilise qu’un nombre fini de chiffres, par exemple 3,14587 ou -221,25.
1) Soit a un nombre décimal. En le multipliant par 10, on déplace sa virgule de 1 chiffre vers la droite, donc 10a a un chiffre après la virgule de moins que a. Si on multiplie 10a encore par 10, on obtient 100a qui a deux chiffres après la virgule de moins que a. En appelant n le nombre de chiffres après la virgule de a, on s’aperçoit que 10na n’a pas de chiffre après la virgule. Ainsi 10na est un nombre entier, que nous appellerons b. On a 10na = b donc
10n
a= b a est donc un quotient d’entiers, c’est bien un nombre rationnel.
Exemples : 8524 2502408710
8,524 ; 0, 0025024087
1000 10
= =
2) Soit a
x=b où b n’a que les facteurs 2 et 5. Si l’exposant de 2 est plus petit que celui de 5, en multipliant au numérateur et au dénominateur par 2 avec un exposant assez grand, on aura au dénominateur une puissance de 10, et donc le quotient sera un nombre décimal. On fait de même si la puissance de 2 est la plus grande, en multipliant par un exposant de 5.
Exemples :
2 6 6
3 3 3 5 11 11 11 11
7 7 7 5 7 25 13 13 2 13 2
0,175;
40 5 2 5 2 1000 2 5 2 5 10
× × × ×
= = = = = =
× × × ×
3) En écrivant 100a, on déplace la virgule de 2 chiffres, et on obtient 100a = 14,141414…, c’est à dire 100a = 14 + 0,141414…, donc 100a = 14 + a. Nous obtenons 99a = 14, et 14
a=99. Pour b, en multipliant par 1000, on obtient 1000b = 201 + b, donc 201 67
999 333
b= = .
Pour c, en multipliant par 10, on obtient 10c = 9 + c, donc c = 1 (bizarre…)
Pour d, le plus simple est de regarder le nombre e=0,12. On obtient que 12 4 99 33
e= = , puis on remarque que 4 994
3 3
10 330 330 d = + e = + = .
4) On obtient que 1
0,142857 7 =
5) Soit a
b un nombre rationnel. En posant la division de a par b, à chaque fois le reste doit être strictement inférieur à b. Si un des restes est nul, le développement décimal est fini. Sinon, on ne peut avoir pour reste que les nombres de 1 à b – 1. Comme il n’y a qu’un nombre fini de possibilités, on retombera forcément sur un reste que l’on a déjà eu. A partir de ce moment, les chiffres vont se répéter et le développement sera périodique. On ne peut pas dire grand chose du nombre de chiffres de la période, sinon qu’il est inférieur ou égal à b – 1. On peut démontrer qu’il divise toujours b – 1, mais c’est trop difficile pour des élèves de seconde (et même pour des élèves de terminale)
