de deux réels strictement positifs par :

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MPSI B Année 2015-2016 DM 5 pour vendredi 20/11/15 29 juin 2019

Problème 1

On dénit la somme parallèle

¹

de deux réels strictement positifs par :

∀(a, b) ∈ ]0, +∞[

²

, a//b = ab a + b .

1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que

(a//b)x

²

= inf{ay

²

+ bz

²

, (y, z) ∈ R

²

tq y + z = x}

Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?

Si oui, pour quels couples (y

₀

, z

₀

) la relation (a//b)x

²

= ay

²₀

+ bz

₀²

est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et

z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.

4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x

²

+ (b//d)x

²

≤ ((a + b)//(c + d))x

²

.

Interpréter physiquement cette inégalité.

5. Soient α

₁

, α

₂

, . . . , α

_k

et β

₁

, β

₂

, . . . , β

_k

des réels strictement positifs. Montrer que

k

X

i=1

(α

i

//β

i

) ≤

k

X

i=1

α

i

! //

k

X

i=1

β

i

! .

Problème 2

Pour toute partie

²

A de N et tout entier n ≥ 1 , on pose S

n

(A) = Card(A ∩ J 1, n K ) et on appelle densité de Schnirelmann de A le réel

σ(A) = inf{ S

n

(A)

n , n ≥ 1}

Si A et B sont deux parties de N, on pose

A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}

1d'après X 99 PC 1

2D'après le problème 1 de l'ouvrage "Problèmes choisis de mathématiques supérieure" (Springer).

1. a. Justier la dénition de σ(A) et montrer que σ(A) ≤ 1 . b. Que vaut σ(A) si 1 6∈ A ?

c. Sous quelle condition a-t-on σ(A) = 1 ? d. Si A ⊂ B , comparer σ(A) et σ(B) . 2. Calculer σ(A) pour les parties suivantes :

a. A est une partie nie de N.

b. A est l'ensemble des entiers impairs.

c. Soit k ≥ 2 entier xé et A l'ensemble des puissances k -ièmes d'entiers.

A = {m

^k

, m ∈ N

^∗

}

3. Soit A et B deux parties de N contenant 0 , soit n ≥ 1 un nombre entier. En considérant C = {n − b, b ∈ J 0, n K ∩ B }

montrer que

S

_n

(A) + S

_n

(B) ≥ n ⇒ n ∈ A + B 4. Soit A et B deux parties de N contenant 0 .

a. Montrer que si σ(A) + σ(B) ≥ 1 alors A + B = N.

b. Montrer que si σ(A) ≥

¹₂

alors tout entier est la somme de deux éléments de A .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1505E