MPSI B Année 2018-2019. DS 4 le 30/11/18 29 juin 2019
Dans l'exercice 1, ne pas traiter les questions portant sur les interprétations physiques.
Exercice 1
On dénit la somme parallèle
1de deux réels strictement positifs par :
∀(a, b) ∈ ]0, +∞[
2, a//b = ab a + b .
1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que
(a//b)x
2= inf{ay
2+ bz
2, (y, z) ∈ R
2tq y + z = x}
Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?
Si oui, pour quels couples (y
0, z
0) la relation (a//b)x
2= ay
20+ bz
02est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et
z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.
4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x
2+ (b//d)x
2≤ ((a + b)//(c + d))x
2.
Interpréter physiquement cette inégalité.
5. Soient α
1, α
2, . . . , α
ket β
1, β
2, . . . , β
kdes réels strictement positifs. Montrer que
k
X
i=1
(α
i//β
i) ≤
k
X
i=1
α
i! //
k
X
i=1
β
i! .
Exercice 2
1. On considère trois nombres réels a, b, c quelconques.
a. Montrer que
a
3+ b
3+ c
3− 3abc = (a + b + c) 1 2
(a − b)
2+ (b − c)
2+ (c − a)
21d'après X 99 PC 1
b. En déduire que, si a, b, c sont trois réels strictement positifs, ils vérient a + b + c ≥ 3(abc)
13, 1
a + 1 b + 1
c ≥ 3(abc)
−13.
2. On considère les suites (a
n)
n∈N, (b
n)
n∈N, (c
n)
n∈Ndéterminées par la donnée de leurs premiers termes a
0> 0 , b
0> 0 , c
0> 0 et par les relations de récurrence
a
n+1= a
n+ b
n+ c
n3 b
n+1= (a
nb
nc
n)
1/33 c
n+1= 1 a
n+ 1 b
n+ 1 c
n.
Justier que les suites sont bien dénies et montrer que : ∀n ≥ 1, c
n≤ b
n≤ a
n. 3. Démontrer que (a
n)
n∈Net (c
n)
n∈Nsont adjacentes. Que peut-on dire de (b
n)
n∈N? 4. a. Montrer que a
1c
1= b
21entraîne a
nc
n= b
21pour tous les n . Que peut-on en
conclure pour la limite des trois suites ?
b. Montrer que si a
1c
16= b
21, la suite (b
n)
n∈Nest monotone.
Problème 1
Un sous groupe (additif) de ( R , +) est une partie de R contenant 0 et stable pour l'ad- dition et la symétrisation. Autrement dit, G ⊂ R est un sous-groupe si et seulement si
0 ∈ G, ∀(x, y) ∈ G
2: x + y ∈ G, ∀x ∈ G : −x ∈ G
Cela entraîne en particulier que pour tout x ∈ G et n ∈ Z, ng ∈ G car il peut s'écrire comme une somme de x ou de −x .
Soient A et B deux parties de R. On dit que A est dense dans B si et seulement si
∀b ∈ B, ∀ε > 0 : ]b − ε, b + ε[ ∩ A 6= ∅
Soit G un sous groupe de ( R , +) , on dira que G est discret si et seulement si
∃α > 0 tel que G ∩ ]0, α[= ∅
L'objet de ce problème est d'étudier les sous-groupes additifs de R. Dans toute la suite, G désigne un tel sous-groupe.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai S1804EMPSI B Année 2018-2019. DS 4 le 30/11/18 29 juin 2019
1. Formuler une proposition traduisant que G n'est pas discret. Montrer que si G n'est pas discret alors :
∀x ∈ R , ∀α > 0, G ∩ [x, x + α[ 6= ∅
2. Dans cette question, on suppose que G 6= {0} est discret. Il existe alors un réel α strictement positif tel que G ∩ ]0, α[ = ∅ .
a. Soit I un intervalle de longueur
α2. Montrer que G∩ I contient au plus un élément.
Que peut-on en déduire pour l'intersection de G avec un intervalle quelconque de longueur nie ?
b. Montrer que G ∩ R
∗+admet un plus petit élément que l'on notera m . c. Montrer que G = {km, k ∈ Z } . Un tel ensemble sera noté Z m 3. Soit x et y deux réels strictement positifs, on pose
X = Z x = {kx, k ∈ Z } , Y = Z y = {ky, k ∈ Z } , S =
mx + ny, (m, n) ∈ Z
2a. Vérier que X , Y et S sont des sous-groupes de ( R , +) . On dira que X est le
sous-groupe engendré par x , que Y est le sous-groupe engendré par y et que S est le sous-groupe engendré par x et y .
b. Montrer que S est discret si et seulement si
xy∈ Q.
4. Soit x et y deux réels strictement positifs, tels que
xy∈ / Q. Notons A = {kx, k ∈ Z
∗}, B = {ky, k ∈ Z
∗}.
a. Montrer que A ∩ B = ∅ . b. Montrer que
inf {|a − b|, (a, b) ∈ A × B} = 0.
5. En considérant un certain sous-groupe additif et en admettant que π est irrationnel, montrer que {cos n, n ∈ Z } est dense dans [−1, 1] .
Problème 2
L'objet de ce problème est de calculer la limite de certaines suites formées à partir de sommes d'inverses d'entiers aectés de signes
2.
Soit i ∈ J 0, 3 K et n ∈ N
∗, on note : I
i=
Z
1 0t
i1 + t
2dt S
i,n=
n−1
X
k=0
1
4k + i + 1 − 1 4k + i + 3
2D'après BECEAS 2016 [m16i21e]
1. Calcul d'intégrales.
a. Calculer I
0, I
1, I
2, I
3. b. Calculer
K = Z
10
dt
1 − t + t
2, L = Z
10
1 + t + t
21 + t
3dt Pour le calcul de L , il est utile de factoriser le dénominateur.
2. Soit i ∈ J 0, 3 K, t ∈ [0, 1] et n ∈ N
∗. En multipliant par t
2+ 1 , trouver une autre expression pour
n−1
X
k=0
t
4k+i− t
4k+i+23. Soit i ∈ J 0, 3 K et n ∈ N
∗. Montrer que S
i,n=
Z
1 0t
i− t
4n+i1 + t
2dt 4. Montrer que la suite R
10 tm 1+t2
dt
m∈N
converge vers 0 . Que peut-on en déduire pour les suites (S
i,n)
n∈N∗
pour i ∈ J 0, 3 K ? 5. Pour n ∈ N
∗, on note
u
n=
2n
X
p=1
(−1)
p+1p , v
n=
n−1
X
k=0
1 (k +
14)(k +
34)
a. Exprimer u
nà l'aide d'un S
i,npour un certain i . En déduire la limite de (u
n)
n∈N∗
. b. Exprimer v
nà l'aide d'un S
i,npour un certain i . En déduire la limite de (v
n)
n∈N∗
. 6. Pour n ∈ N
∗, on considère
∀t ∈ R , F
n(t) =
6n−1
X
k=0
(−1)
bk3ct
k, T
n=
6n−1
X
k=0
(−1)
bk3ck + 1
a. Quel est l'ensemble des b
k3c pour k ∈ J 0, 6n J ? Quels sont les entiers p pour lesquels il existe des k ∈ J 0, 6n J vériant b
k3c = 2p ? Pour un tel p , préciser ces entiers k . b. Montrer que
∀t ∈ R , F
n(t) = 1 + t + t
21 + t
3(1 − t
6n) c. Montrer la convergence et préciser la limite de (T
n)
n∈N∗
.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
