de deux réels strictement positifs par :

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Exercice 1. Addition parallèle

On dénit la somme parallèle

de deux réels strictement positifs par :

∀(a, b) ∈ ]0, +∞[

, a//b = ab a + b .

1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que

(a//b)x

= inf{ay

+ bz

, (y, z) ∈ R

tq y + z = x}

Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?

Si oui, pour quels couples (y

, z

) la relation (a//b)x

= ay

+ bz

est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et

z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.

4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x

+ (b//d)x

≤ ((a + b)//(c + d))x

.

Interpréter physiquement cette inégalité.

5. Soient α

, α

, . . . , α

et β

, β

, . . . , β

des réels strictement positifs. Montrer que

k

X

i=1

(α

//β

) ≤

k

X

i=1

α

! //

k

X

i=1

β

! .

Exercice 2. Théorème de Erdös-Szekeres

Dans toute ce problème, m désigne un nombre entier, E une partie de N à m éléments et f une fonction injective dénie dans E et à valeurs réelles.

Si A est une partie de E , on désigne par f

la restriction de f à A c'est à dire la fonction dénie de A vers R et telle que

∀a ∈ A, f

(a) = f (a)

Cet exercice porte sur les restrictions monotones de f . Par convention, on décide qu'une fonction dont le domaine de dénition se réduit à un point est à la fois croissante et décroissante.

1d'après X 99 PC 1

1. Exemple. Soit m = 6 et f dénie par E = {1, · · · , m}

f (1) = 3, f(2) = 2, f (3) = 4, f (4) = 6, f (5) = 5, f (6) = 1

a. Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que f

soit croissante.

b. Trouver toutes les parties A de E contenant au moins deux éléments et telles que f

soit décroissante.

2. a. Montrer que pour tout p dans E , il existe au moins une partie A de E telle que A ⊂ {1, · · · , p}

p ∈ A f

croissante

On désigne par i

le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.

b. Calculer les i

pour l'exemple de la question 1.

3. a. Montrer que pour tout p dans E , il existe au moins une partie A de E telle que A ⊂ {1, · · · , p}

p ∈ A

f

décroissante

On désigne par j

le plus grand élément de l'ensemble des cardinaux des parties vériant ces conditions.

b. Calculer les j

pour l'exemple de la question 1.

c. Présenter les résultats des questions 2.b et 3.b. sous la forme d'un tableau dont la dernière ligne est formée par les couples (i

, j

)

4. Soit p et q dans E tels que p < q a. Montrer que f (p) < f (q) ⇒ i

< i

b. Montrer que f (q) < f(p) ⇒ j

< j

5. Montrer que l'application dénie dans E qui à p associe (i

, j

) est injective.

6. Théorème de Erdös-Szekeres.

Soit a et b entiers naturels non nuls et m = ab + 1 . Montrer que, pour toute fonction injective f dénie dans E (ensemble à m éléments) et à valeurs réelles, il existe une partie A de E contenant strictement plus de a éléments telle que f

soit croissante ou bien il existe une partie B de E contenant strictement plus de b éléments telle que f

soit décroissante.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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7. Soit a ≥ 2 et b deux entiers naturels xés, m = ab et E = {0, · · · , m − 1} . Pour tout x ∈ N, notons q(x) , r(x) le quotient et le reste de la division euclidienne de x par a . On dénit la fonction f dans E par

f (x) = (q(x) + 1)a − r(x)

a. Préciser les parties A de E telles que f

soit décroissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?

b. Préciser les parties B de E telles que f

soit croissante. Quel est le plus grand cardinal possible ?

c. Que peut-on en conclure relativement au théorème de la question 6. ?

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