MPSI B DS 5 15 décembre 2019
Problème
Question préliminaire
Soit (a n ) n∈
N, une suite de réels strictement positifs telle que ( a n+1
a n ) n∈
Nconverge vers un réel strictement plus petit que 1.
Montrer que (a n ) n∈
Nest dominée par une suite géométrique de raison strictement plus petite que 1.
On considère
1la fonction dénie dans R par f (x) = e (e
x−1)Pour tout entier n , on note T n = f (n) (0)
1. a. Calculer f
0(x) puis la dérivée n -ième de f en fonction des f (k) , pour k entre 0 et n − 1 . Vérier que f (n) ne prend sur R que des valeurs strictement positives.
b. Vérier que pour tout x ∈] − 1 e , 1 e [ et n entier
|f (n) (x)| ≤ 2e n n 2. a. Montrer que pour tout x ∈] − 1 e , 1 e [ , la suite
( x n n n n! ) n∈
Nconverge vers 0.
b. Montrer que pour tout x ∈] − 1 e , 1 e [ , la suite (
n
X
k=0
T k k! x k ) n∈
Nconverge vers f (x) .
3. a. Pour p ∈ N xé, montrer la convergence de la suite
( 1 e
n
X
k=1
k p k! ) n∈
NOn note U p sa limite.
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D'après ENGEES 99 B PSI
b. Vérier par récurrence que pour tout p ∈ N U p+1 =
p
X
k=0
p k
U k
c. Montrer que pour tout p ∈ N, T p = U p .
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