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, une suite de réels strictement positifs telle que ( a n+1

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Academic year: 2022

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MPSI B DS 5 15 décembre 2019

Problème

Question préliminaire

Soit (a n ) n∈

N

, une suite de réels strictement positifs telle que ( a n+1

a n ) n∈

N

converge vers un réel strictement plus petit que 1.

Montrer que (a n ) n∈

N

est dominée par une suite géométrique de raison strictement plus petite que 1.

On considère

1

la fonction dénie dans R par f (x) = e (e

x−1)

Pour tout entier n , on note T n = f (n) (0)

1. a. Calculer f

0

(x) puis la dérivée n -ième de f en fonction des f (k) , pour k entre 0 et n − 1 . Vérier que f (n) ne prend sur R que des valeurs strictement positives.

b. Vérier que pour tout x ∈] − 1 e , 1 e [ et n entier

|f (n) (x)| ≤ 2e n n 2. a. Montrer que pour tout x ∈] − 1 e , 1 e [ , la suite

( x n n n n! ) n∈

N

converge vers 0.

b. Montrer que pour tout x ∈] − 1 e , 1 e [ , la suite (

n

X

k=0

T k k! x k ) n∈

N

converge vers f (x) .

3. a. Pour p ∈ N xé, montrer la convergence de la suite

( 1 e

n

X

k=1

k p k! ) n∈

N

On note U p sa limite.

1

D'après ENGEES 99 B PSI

b. Vérier par récurrence que pour tout p ∈ N U p+1 =

p

X

k=0

p k

U k

c. Montrer que pour tout p ∈ N, T p = U p .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0305E

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