Soit f : R → R une application de classe C ∞ sur R . On suppose qu’il existe une suite de r´ eels (x n ) n≥0 strictement d´ ecroissante telle que lim n→+∞ x n = 0 et telle que, pour tout n ∈ N , f (x n ) = 0.

Corrig´e de l’exercice 4.10.bis

Ir` ene Waldspurger

waldspurger@ceremade.dauphine.fr

Enonc´ ´ e

Soit f : R → R une application de classe C ^∞ sur R . On suppose qu’il existe une suite de r´ eels (x _n ) n≥0 strictement d´ ecroissante telle que lim n→+∞ x _n = 0 et telle que, pour tout n ∈ N , f (x _n ) = 0.

1. Prouver que f (0) = 0.

2. Montrer que f ⁰ (0) = 0.

3. Montrer que pour tout k ∈ N , k ≥ 2, on a f ^(k) (0) = 0.

4. Qu’en est-il si on remplace l’hypoth` ese

(x n ) n≥0 est strictement d´ ecroissante

par

(x _n ) n≥0 est strictement croissante

?

Introduction

• Le but de l’exercice est de d´ emontrer que, pour toute fonction f : R → R de classe C ^∞ , s’il existe une suite de points o` u f s’annule, qui soit de plus strictement monotone et tende vers 0, alors toutes les d´ eriv´ ees de f sont nulles en 0.

• La similarit´ e principale avec l’exercice 4.10 est que, par hypoth` ese, la fonction f s’annule en un certain nombre de points. Partant de cette propri´ et´ e, on va pouvoir utiliser le mˆ eme raisonnement qu’` a l’exercice 4.10 pour construire des points o` u f <sup>0</sup> s’annule. Cette m´ ethode sera utile dans la question 2, puis dans la question 3 (appliqu´ ee dans la question 3 ` a f ^(k) au lieu de f , pour tout k dans N ).

• Une diff´ erence avec l’exercice 4.10 est qu’ici, le nombre de points o` u f s’annule est infini ; on va donc devoir manipuler des suites enti` eres de points d’annulation. De plus, comme on souhaite d´ emontrer un r´ esultat portant sur toutes les d´ eriv´ ees successives de f, il faudra r´ eappliquer la m´ ethode dans le cadre d’un raisonnement par r´ ecurrence, ce qui n’´ etait pas utile dans l’exercice 4.10.

D´ eveloppement

1. La fonction f est continue sur R (car de classe C ^∞ ). Elle est en particulier continue en 0. Par caract´ erisation s´ equentielle, puisque x _n ^n→+∞ → 0, on a donc

f (0) = lim

n→+∞ f(x _n ) = lim

n→+∞ 0 = 0.

1

2. Soit n ∈ N quelconque. Appliquons le lemme de Rolle ` a f sur le segment [x <sub>n+1</sub> ; x <sub>n</sub> ] (on a bien x n+1 < x n car x est strictement d´ ecroissante). Les hypoth` eses du lemme sont v´ erifi´ ees : f est continue et d´ erivable sur R ; elle est en particulier continue sur [x _n+1 ; x _n ] et d´ erivable sur ]x _n+1 ; x _n [. On peut donc affirmer qu’il existe y _n ∈]x _n+1 ; x _n [ tel que f ⁰ (y _n ) = 0.

Puisque ce raisonnement est valable pour n ∈ N quelconque, on en d´ eduit qu’il existe une suite (y _n ) n∈ N telle que, pour tout n,

x _n+1 < y _n < x _n ; f ⁰ (y _n ) = 0.

Fixons une telle suite.

Les suites (x _n ) n∈ N et (x _n+1 ) n∈ N tendent vers 0 ; par encadrement, (y _n ) n∈ N tend aussi vers 0.

Comme f ⁰ est continue en 0 (elle est continue sur R ), on a par caract´ erisation s´ equentielle : f ⁰ (0) = lim

n→+∞ f ⁰ (y _n ) = lim

n→+∞ 0 = 0.

3. Commen¸cons par d´ emontrer par r´ ecurrence sur k ∈ N la propri´ et´ e suivante : (P _k ) : il existe une suite de r´ eels (y _n ) _{n∈ N} strictement d´ ecroissante telle que

lim n→+∞ y _n = 0 et telle que pour tout n ∈ N , f ^(k) (y _n ) = 0.

L’initialisation est une cons´ equence de l’hypoth` ese de l’´ enonc´ e : pour k = 0, la suite y = x v´ erifie toutes les propri´ et´ es requises.

Supposons maintenant que (P _k ) est vraie pour un certain k ∈ N et d´ emontrons (P _k+1 ).

Soit (y _n ) _{n∈ N} une suite v´ erifiant les propri´ et´ es d´ ecrites dans (P _k ).

Soit n ∈ N quelconque. On applique le lemme de Rolle ` a f <sup>(k)</sup> sur le segment [y <sub>n+1</sub> ; y <sub>n</sub> ] (en remarquant que y <sub>n+1</sub> < y <sub>n</sub> car y est d´ ecroissante). Les hypoth` eses du lemme sont v´ erifi´ ees car f ^(k) est continue et d´ erivable sur R , puisque f est de classe C ^∞ . Le lemme garantit qu’il existe z _n ∈]y _n+1 ; y _n [ tel que

f ^(k+1) (z _n ) = (f ^(k) ) ⁰ (z _n ) = 0.

Ce raisonnement ´ etant valable pour n quelconque, on en d´ eduit qu’il existe une suite de r´ eels (z _n ) n∈ N telle que, pour tout n ∈ N ,

y _n+1 < z _n < y _n ; f ^(k+1) (z _n ) = 0.

Montrons que z v´ erifie les propri´ et´ es d´ ecrites dans (P _k+1 ). Tout d’abord, z est strictement d´ ecroissante, puisque, pour tout n, z _n+1 < y _n+1 < z _n . De plus, par encadrement, puisque (y _n ) _{n∈ N} et (y _n+1 ) n∈ N tendent vers 0, z tend vers 0. Enfin, d’apr` es notre d´ efinition de z, f ^(k+1) (z _n ) = 0 pour tout n ∈ N .

On a donc d´ emontr´ e la propri´ et´ e (P _k+1 ). Cela termine le raisonnement par r´ ecurrence : (P _k ) est vraie pour tout k ∈ N .

Utilisons le r´ esultat que nous venons de d´ emontrer pour r´ esoudre la question 3. Soit k ∈ N quelconque. Soit y une suite comme dans la propri´ et´ e (P _k ). Puisque f ^(k) est continue en 0 (elle est continue sur R ) et y n

n→+∞ → 0, le th´ eor` eme de caract´ erisation s´ equentielle implique : f ^(k) (0) = lim

n→+∞ f ^(k) (y _n ) = lim

n→+∞ 0 = 0.

2

4. Si on suppose (x _n ) n∈ N strictement croissante et plus strictement d´ ecroissante, on peut appliquer un raisonnement identique, en rempla¸cant seulement les intervalles

[x n+1 ; x n ]

et

[y _n+1 ; y _n ]

par

[x _n ; x _n+1 ]

et

[y _n ; y _n+1 ]

et la propri´ et´ e

strictement d´ ecroissante

de la d´ efinition de (P _k ) par

strictement croissante

. La conclusion reste donc vraie.

3

Conclusion

Si on pensait ` a utiliser le lemme de Rolle comme dans l’exercice 4.10, on avait compris au moins l’intuition du raisonnement ` a mener. Toutefois, r´ ediger correctement ce raisonnement n´ ecessitait du soin, tout particuli` erement dans la question 3 : il fallait en effet bien choisir l’hypoth` ese de r´ ecurrence. L’hypoth` ese de r´ ecurrence

(P _k ) : f ^(k) = 0

ne permettait pas de conclure, par exemple. Oublier, dans l’hypoth` ese de r´ ecurrence, la propri´ et´ e

(y _n ) _{n∈ N} est strictement d´ ecroissante

posait aussi probl` eme.

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