Prouver que pour tout (t, x, y)∈R×R+×]0

Examen, 13 d´ecembre 2007 Int´egration et th´eorie de la mesure LM363 Dur´ee 3 heures. Tous documents interdits.

Toute application d’un r´esultat prouv´e ou ´enonc´e pendant le cours doit ˆetre signal´ee et justifi´ee avec pr´ecision.

Exercice 1 SoitR₊= [0,+∞[ et pour toutn ≥1 la fonctionf_n :R×R₊×R₊7→C f_n(t, x, y) :=e^−(n+x)y¡

e^iyt−1¢ . 1. Prouver que pour tout (t, x, y)∈R×R+×]0,+∞[

X

n≥1

|fn(t, x, y)| ≤ |t| y e^−y 1−e^−y et

f(t, x, y) := X

n≥1

f_n(t, x, y) = e^−xy e^y −1

¡e^iyt−1¢ .

2. Montrer que pour tout (t, x)∈R×R₊ on a y7→f(t, x, y)∈L¹(R₊, λ) et Z _+∞

0

f(t, x, y)dy=X

n≥1

it

(n+x−it)(n+x). 3. Soit pour tout (t, x, y)∈R×R₊×R₊

u(t, x, y) := e^−xy

e^y−1 sin(yt).

Prouver que pour tout (t, x)∈R×R+ on a y7→u(t, x, y)∈L¹(R+, λ) et Z _+∞

0

e^−xy

e^y−1 sin(yt)dy =X

n≥1

t

(n+x)²+t². 4. Prouver que la fonction g :R×R₊ 7→R

g(t, x) :=

Z _+∞

0

e^−xy

e^y−1 sin(yt)dy

est de classe C² surR×R₊ et satisfait sur R×R₊ l’´equation

∂²g

∂t² + ∂²g

∂x² = 0.

Exercice 2 Soit (X,A, µ) un espace mesur´e etp∈[1,+∞[. Soitf dansL^p(X,R₊), o`u R₊= [0,+∞[.

1. Soit ϕ: R+ 7→[0,+∞] d´efinie par ϕ(t) :=µ(f > t). Montrer que ϕ(t)<+∞

pour tout t >0 `a l’aide de l’in´egalit´ef^p ≥t^p·1_{{f >t}}.

2. Montrer queϕest d´ecroissante, continue `a droite surR₊ avec lim_t→+∞ϕ(t) = 0.

3. Pour tout k ∈ Z soit A_k :={t ∈R₊ :µ(f > t)≤2^k}. Montrer que pour tout k ∈Z on a A_k6=∅. Soit t_k := infA_k. Montrer que t_k∈A_k.

4. Montrer que pour tout k∈Z on a Ak ⊆Ak+1 ettk≥tk+1.

5. Montrer que ]0,∞[⊆ ∪_k∈ZA_k et en d´eduire que t_k →0 si k →+∞.

6. Montrer que la fonctionF :X×R₊ 7→R₊ d´efinie par F(x, t) := p t^p−11{f(x)>t}

est A ⊗ B(R+) mesurable.

7. Montrer `a l’aide du Th´eor`eme de Fubini que Z

X×R+

F d(µ⊗λ₁) =kfk^p_Lp =p Z _∞

0

t^p−1µ(f > t)dt.

8. Pour k ∈Z, on d´efinit ck := 2^k/ptk. Montrer `a l’aide du Th´eor`eme de Fubini que

p Z _∞

0

t^p−1

à X

k∈Z:tk>t

2^k

!

dt =X

k∈Z

c^p_k.

9. Pour tout t > 0 soit k(t) := sup{k ∈ Z : t_k > t} < +∞, avec sup∅ :=−∞.

Prouver que pour tout t >0

2^k(t) ≤µ(f > t)≤2^k(t)+1

et X

k∈Z:tk>t

2^k= 2^k(t)+1, o`u par convention 2^−∞ := 0.

10. En d´eduire que pour tout t >0 1

2 X

k∈Z:tk>t

2^k ≤µ(f > t)≤ X

k∈Z:tk>t

2^k et que

kfk^p_Lp ≤X

k∈Z

c^p_k ≤2kfk^p_Lp.

Corrig´e (LM363, 13 d´ecembre 2007)

Correction de l’exercice 1 (8 points sur 20) 1. Pour tout n≥1 on a l’estimation

|fn(t, x, y)|=¯

¯e^−(n+x)y¡

e^iyt−1¢¯¯≤e^−ny|t|y, y∈R+, car

|e^iyt−1|² = (cosyt−1)²+ sin²yt= 2(1−cosyt)≤(ty)². On obtient pour tout (t, x, y)∈R×R₊×R₊

X

n≥1

|f_n(t, x, y)| ≤ |t|yX

n≥1

e^−ny =|t| y e^−y 1−e^−y.

La s´erie converge absolument pour tout (t, x, y)∈R×R+×]0,+∞[ et f(t, x, y) := X

n≥1

f_n(t, x, y) = e^−xy e^y −1

¡e^iyt−1¢ .

2. Pour tout (t, x)∈R×R₊ on a Z _+∞

0

|f(t, x, y)|dy≤ Z _+∞

0

X

n≥1

|f_n(t, x, y)|dy≤ |t|

Z _+∞

0

y e^−y

1−e^−y dy <+∞.

Aussi on a Z _+∞

0

|fn(t, x, y)|dy=|t|

Z _+∞

0

y e^−nydy= |t|

n²

et donc X

n≥1

kf_n(t, x,·)k_L¹_(R+,λ)<+∞.

On peut aussi remarquer que par le th´eor`eme de convergence monotone X

n≥1

Z _+∞

0

|f_n(t, x, y)|dy = Z _+∞

0

X

n≥1

|f_n(t, x, y)|dy ≤ Z _+∞

0

|t| y e^−y

1−e^−y dy <+∞.

Par le th´eor`eme sur les s´eries absolument convergentes on trouve que Z _+∞

0

f(t, x, y)dy=X

n≥1

Z _∞

0

fn(t, x, y)dy.

Or les fonctions y 7→ e^−(n+x)ye^iyt et y 7→ e^−(n+x)y sont int´egrables sur R₊ et on a Z _∞

0

f_n(t, x, y)dy= Z _∞

0

e^−(n+x)ye^iytdy− Z _∞

0

e^−(n+x)ydy

= 1

n+x−it − 1

n+x = it

(n+x−it)(n+x). 3. Il suffit de remarquer que pour tout (t, x, y)∈R×R₊×R₊

u(t, x, y) = e^−xy

e^y−1 sin(yt) = Imf(t, x, y), et donc ku(t, x,·)k_L¹_(R+,λ)≤ kf(t, x,·)k_L¹_(R+,λ) et

Z _+∞

0

u(t, x, y)dy=X

n≥1

Im it

(n+x−it)(n+x). Or

it

(n+x−it)(n+x) = (n+x+it)it ((n+x)²+t²)(n+x)

=− t²

((n+x)² +t²)(n+x) +i t

(n+x)²+t².

4. Il est clair que u est de classe C^∞ sur R×R₊×]0,∞[7→R. Pour appliquer le th´eor`eme de d´erivabilit´e d’une int´egrale d´ependant d’un param`etre il suffit de trouver une fonction h∈L¹(R₊, λ) telle que

µ¯¯

¯¯∂u

∂t

¯¯

¯¯+

¯¯

¯¯∂u

∂x

¯¯

¯¯+

¯¯

¯¯∂²u

∂t²

¯¯

¯¯+

¯¯

¯¯ ∂²u

∂t∂x

¯¯

¯¯+

¯¯

¯¯∂²u

∂x²

¯¯

¯¯

¶

(t, x, y)≤h(y), pour tout (t, x, y)∈R×R₊×]0,∞[. Des simples calculs montrent que

∂u

∂t(t, x, y) = e^−xy

e^y −1y cos(yt), ∂u

∂x(t, x, y) = −y e^−xy

e^y−1 sin(yt),

∂²u

∂t²(t, x, y) =− e^−xy

e^y −1y² sin(yt), ∂²u

∂t∂x(t, x, y) = − e^−xy

e^y −1y² cos(yt),

∂²u

∂x²(t, x, y) =y² e^−xy

e^y−1 sin(yt).

Donc on peut choisir

h(y) = 3(y+y²) e^−y

, y >0, khk_L¹_{(R ,λ)} <+∞.

Donc g ∈C²(R×R₊) et en particulier pour tout (t, x)∈R×R₊ µ∂²g

∂t² + ∂²g

∂x²

¶

(t, x) = Z _+∞

0

µ∂²u

∂t²(t, x, y) + ∂²u

∂x²(t, x, y)

¶

dy = 0.

Correction de l’exercice 2 (14 points sur 20)

1. Si on int`egre par rapport `a µ les deux cˆot´es de l’in´egalit´ef^p ≥ t^p·1{f >t} on trouve

ϕ(t) = µ(f > t)≤t^−p Z

f^pdµ < +∞, t >0.

On peut remarquer que en g´en´eral µ(f >0) pourrait ˆetre fini ou infini.

2. Si t ≤ s alors {f > s} ⊆ {f > t} et donc µ(f > s) ≤ µ(f > t). Si t ≥ 0 et εn ↓ 0 alors {f > t} = ∪n{f > t+εn}. Puisque {f > t+εn} est une suite croissante, on peut appliquer la continuit´e `a gauche des mesures et obtenir que ϕ(t+ε_n)↑ϕ(t).

Soit M_n une suite croissante qui tend vers +∞. Puisque∩_n{f > M_n}={f = +∞}, µ(f = +∞) = 0, et µ(f > M₁) < +∞, on peut alors appliquer la continuit´e `a droite des mesures sur les suites d´ecroissantes `a mesure finie et obtenir que lim_t→+∞ϕ(t) = 0.

On peut aussi remarquer que par la question pr´ec´edente : ϕ(t) =µ(f > t)≤t^−p

Z

f^pdµ→0, t →+∞.

3. Pour toutk∈Z soitAk :={t ∈R+:µ(f > t)≤2^k}. Puisque limt→+∞ϕ(t) = 0 on a ϕ(t) ≤ 2^k pour t assez grand. Soit t_k := infA_k. Il existe une suite (s_n)⊂A_k telle que s_n↓t_k et par la continuit´e `a droite on trouve que ϕ(t_k) = limnϕ(sn)≤2^k; donc tk ∈Ak.

4. Si t ∈ A_k alors ϕ(t) ≤ 2^k ≤ 2^k+1 et donc t ∈ A_k+1. Puisque A_k ⊆ A_k+1 on a n´ecessairement infA_k+1 ≤infA_k.

5. Soitt >0 ; puisqueµ(f > t)<+∞ alors il existe k∈Z tel queµ(f > t)≤2^k et t appartient alors `a Ak. Donc pour toutt >0 il existe k tel que t ≥tk ≥ti

pour touti≥k. Donct_k →0 sik →+∞. On peut remarquer que 0∈ ∪_k∈ZA_k si et seulement si µ(f >0)<+∞.

6. La fonction f estA-mesurable ; l’´ev´enement {(x, t) :f(x)> t} s’´ecrit aussi {(x, t) :f(x)> t}=∪_r∈Q+

³

{x:f(x)> r} ×[0, r]

´ ,

qui appartient `aA⊗B(R₊). La fonctionR₊ 3t7→p t^p−1 estB(R₊)-mesurable car continue, et donc la fonction R₊×X 3 (t, x) 7→ p t^p−1 est A ⊗ B(R₊) mesurable. La fonction F est produit de deux fonctionsA ⊗ B(R+) mesurables donc mesurable.

7. Par le Th´eor`eme de Fubini Z

X×R+

F d(µ⊗λ₁) = Z

X

dµ(x) Z

R+

p t^p−11{f(x)>t}dt= Z

X

dµ(x) Z _f(x)

0

p t^p−1dt

= Z

X

dµ(x) (f(x))^p =kfk^p_Lp, Z

X×R+

F d(µ⊗λ1) = Z

R⁺

dt p t^p−1 Z

X

dµ1{f(x)>t} =p Z _∞

0

t^p−1µ(f > t)dt.

Il faudrait remarquer que le Th´eor`eme de Fubini en g´en´eral est vrai si µ est σ-finie, hypoth`ese qui n’a pas ´et´e sp´ecifi´ee ici. Mais si on se restreint `a ˜X :=

{f >0}, qui est mesurable, avec la tribu ˜A:={A∩X˜ :A∈ A}et on consid`ere µ restreinte `a ˜A, alors on voit facilement que ( ˜X,A, µ) est un espace˜ σ-fini ; en effet, ˜X =∪_n{f >1/n}.

8. On consid`ere ici les espaces mesur´es (R<sub>+</sub>,B(R<sub>+</sub>), λ) et N avec la mesure de comptage ; les deux espaces ´etant σ-finis, on peut appliquer le Th´eor`eme de Fubini. Si on intervertit la somme et l’int´egrale, ce qui est possible car les termes sont tous positifs, on obtient

p Z _∞

0

t^p−1

à X

k∈Z:tk>t

2^k

!

dt=p Z _∞

0

t^p−1 ÃX

k∈Z

1_{tk>t}2^k

! dt

=pX

k∈Z

2^k Z _∞

0

t^p−11_{tk>t}dt =X

k∈Z

2^kp Z _tk

0

t^p−1dt =X

k∈Z

2^kt^p_k =X

k∈Z

c^p_k.

9. Si µ(f > t) = 0 alors t ∈ ∩_kA_k, donc {k ∈Z:t_k > t}=∅ etk(t) =−∞. Par la convention on a 2^k(t)= 2^k(t)+1 = 0 et l’in´egalit´e cherch´ee est v´erifi´ee.

Soit maintenant t > 0 tel que µ(f > t) > 0. Puisque t_k → 0 si k → +∞, pour t > 0 on a k(t) = max{k ∈ Z : t_k > t} ∈]− ∞,+∞[. Donc t_k(t) > t et t_k(t)+1 ≤t, c’est `a dire t /∈A_k(t) mais t ∈A_k(t)+1, et en particulier

2^k(t) < µ(f > t)≤2^k(t)+1 par les d´efinitions de A_k(t) et A_k(t)+1. On voit aussi que

X

k∈Z:tk>t

2^k = Xk(t)

k=−∞

2^k= 2^k(t) X∞

k=0

2^−k = 2^k(t)·2 = 2^k(t)+1.

10. On a trouv´e que pour toutt >0 1

2 X

k∈Z:tk>t

2^k= 2^k(t) ≤µ(f > t)≤2^k(t)+1 = X

k∈Z:tk>t

2^k et donc par les questions 7 et 8

kfk^p_Lp ≤X

k∈Z

c^p_k ≤2kfk^p_Lp.