MPSI B Année 2011 - 2012 Énoncé du DM 06 29 juin 2019
Problème 1.
Dans ce problème 1 les termes arc paramétré et courbe paramétrée ont la même signi- cation. Un arc paramétré est dit régulier si et seulement si il est sans point stationnaire.
On désigne par P un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct R . Les coordonnées et les axes des points du plan sont relatifs à ce repère.
Soient a et b des réels strictement positifs. On dénit une hyperbole H a,b et une ellipse E a,b
par leurs équations réduites : H a,b : x 2
a 2 − y 2
b 2 = 1 E a,b : x 2 a 2 + y 2
b 2 = 1 pour a ≥ b Soient F et F 0 les points respectivement de coordonnées (1, 0) et (−1, 0) . On dénit les fonctions Cos et Sin, de C dans C par :
∀z ∈ C , Cos z = 1
2 e iz + e −iz Sin z = 1
2i e iz − e −iz . 1. Soit Z = {z ∈ C | Cos z = 0} et I un intervalle ouvert.
Soit γ 1 et γ 2 deux fonctions de classe C 1 dénies dans I et à valeurs dans C \ Z . On suppose que :
∀t ∈ I, γ 1 0 (t) 6= 0 et γ 0 2 (t) 6= 0 On dénit des arcs paramétrés g 1 , g 2 , f 1 , f 2 par :
∀t ∈ I,
g 1 (t) est le point d'axe γ 1 (t) g 2 (t) est le point d'axe γ 2 (t) f 1 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 1 )(t) f 2 (t) est le point d'axe ( Sin ◦ γ 2 )(t) a. Déterminer Z .
b. On admet que les fonctions Sin ◦ γ 1 et Cos ◦ γ 2 sont C 1 avec :
∀t ∈ I, ( Sin ◦ γ 1 ) 0 (t) = Cos (γ 1 (t))γ 1 0 (t), ( Sin ◦ γ 2 ) 0 (t) = Cos (γ 2 (t))γ 2 0 (t) Montrer que les arcs paramétrés f 1 et f 2 sont réguliers.
c. On suppose que γ 1 (t 0 ) = γ 2 (t 0 ) pour un certain t 0 ∈ I . Montrer l'égalité des angles orientés
( − → \ f 1 0 (t 0 ), − →
f 2 0 (t 0 )) = ( − → g 1 0 (t \ 0 ), − → g 2 0 (t 0 )) [2π]
(On dit que l'application Sin est conforme.)
1
d'après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/)
2. À quelle condition sur a et b l'hyperbole H a,b (respectivement l'ellipse E a,b ) a-t-elle pour foyers F et F 0 ?
3. Soit y 0 > 0 . Montrer que l'image par Sin d'une droite d'équation y = y 0 est une ellipse de foyers F et F 0 .
4. Soit x 0 ∈
0, π 2 . Montrer que l'image par Sin de l'ensemble d'équation x 2 = x 2 0 est une hyperbole de foyers F et F 0 .
5. On dit que deux courbes Γ et Γ 0 sont orthogonales si en tout point M ∈ Γ ∩ Γ 0 , les tangentes à Γ et Γ 0 sont perpendiculaires.
Montrer qu'une hyperbole et une ellipse de foyers F et F 0 sont orthogonales.
Fig. 1: Hyperboles et ellipses homofocales
Problème 2
L'objet du problème 2 est la recherche de lieux géométriques conduisant à l'étude de courbes planes (appelées en général cubiques circulaires). Les parties I et II donnent deux exemples de telles courbes. Dans la troisième partie, on considère le cas général.
2
d'après Ecole de l'Air MP 2002
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1106EMPSI B Année 2011 - 2012 Énoncé du DM 06 29 juin 2019
Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé d'origine notée O , d'axes Ox et Oy et on désigne par a un nombre réel strictement positif donné.
PARTIE I. Étude de la strophoïde droite
D
θD C
M
0I(θ)
H(θ)
M (θ)
Fig. 2: Dénition de la strophoïde droite
On désigne par D la droite d'équation x = 2a et par C le cercle de centre M 0 de coordonnées (−2a, 0) , de rayon 2a .
Pour tout nombre réel θ , on désignera par :
H (θ) le point d'intersection, lorsqu'il existe, de la droite (notée D θ ) d'angle polaire θ et de la droite D .
M (θ) le point d'intersection de la droite d'angle polaire θ et du cercle C (avec la conven- tion que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (θ) désigne le point d'intersection distinct de O ).
1. Donner une équation cartésienne, puis une équation polaire du cercle C .
2. Déterminer des coordonnées polaires de M (θ) et H(θ) , puis du milieu I(θ) du segment [M (θ)H (θ)] .
En déduire, lorsque θ varie, que I(θ) décrit la courbe d'équation polaire : r(θ) = −a cos (2θ)
cos (θ) .
3. Exprimer r(θ + 2π) , r(π + θ) , r(−θ) en fonction de r(θ) . Interpréter géométriquement ces résultats et indiquer sur quelle partie E de R il sut d'étudier la courbe.
4. Déterminer la limite de r(θ) sin (θ − π/2) lorsque θ tend vers π/2 . Qu'en déduit-on géométriquement ?
5. Étudier le signe de r(θ) pour θ ∈ E , représenter sur une même gure la droite D , le cercle C , et le support de cette courbe θ 7→ I(θ) .
6. Donner enn une équation cartésienne du support de la courbe θ 7→ I(θ) .
PARTIE II. Étude de la cissoïde droite
On désigne par D la droite d'équation x = 2a et par C le cercle de centre M 0 (−a, 0) , de rayon a .
Pour tout nombre réel t , on désignera par :
H(t) le point d'intersection de la droite (notée D t ) d'équation y = tx et de la droite D .
M (t) le point d'intersection de la droite d'équation y = tx et du cercle C (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (t) désigne le point d'inter- section distinct de O ).
1. Donner une équation cartésienne du cercle C .
2. Déterminer les coordonnées de M (t) et H (t) , puis du milieu J(t) du segment [M (t)H (t)] .
3. Déterminer le vecteur-dérivé à la courbe t 7→ J(t) , puis en déduire le(s) point(s) sta- tionnaire(s) (c'est-à-dire non régulier(s)) de celle-ci. Etudier la tangente au(x) point(s) stationnaire(s).
En déduire que la tangente à la courbe t 7→ J (t) au point J(t 0 ) a pour équation t 0 (t 2 0 + 3)x − 2y = at 3 0
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Rémy Nicolai M1106EMPSI B Année 2011 - 2012 Énoncé du DM 06 29 juin 2019
C
Dt D
M0
H(t)
J(t)
M(t)
Fig. 3: Dénition de la cissoïde droite
4. Etudier les variations des coordonnées x(t) , y(t) du point J (t) pour t ∈ R + , et re- présenter sur une même gure la droite D , le cercle C , et le support de cette courbe t 7→ J(t) .
5. Donner enn une équation cartésienne du support de la courbe t 7→ J(t) .
PARTIE III. Étude générale des cubiques circulaires
On considère un point M 0 (x 0 , y 0 ) distinct de O et on désigne alors par D la droite d'équation x = 2a et par C(x 0 , y 0 ) le cercle de centre M 0 (x 0 , y 0 ) passant par O .
Pour tout nombre réel t , on désignera par :
H (t) le point d'intersection de la droite (notée D t ) d'équation y = tx et de la droite D .
M (t) le point d'intersection de la droite d'équation y = tx et du cercle C(x 0 , y 0 ) (avec la convention que lorsqu'il y a deux points d'intersection, M (t) désigne le point d'intersection distinct de O ).
1. Déterminer les coordonnées de M (t) et H (t) , puis du milieu K(t) du segment [M (t)H (t)] .
2. Étudier les branches innies de la courbe t 7→ K(t) .
3. À quelle condition sur M 0 (x 0 , y 0 ) l'origine O appartient-elle au support de la courbe paramétrée t 7→ K(t) ?
Représenter graphiquement la zone du plan correspondante.
4. À quelle condition sur M 0 (x 0 , y 0 ) la courbe a-t-elle un point double ?
Quel est alors ce point double ? Représenter graphiquement la zone du plan correspon- dante.
5. À quelle condition sur M 0 (x 0 , y 0 ) la courbe a-t-elle un point stationnaire (c'est à dire non régulier) ?
Quel est alors ce point stationnaire ? Représenter graphiquement la zone du plan cor- respondante.
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