MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 14 pour le 17/03/14 29 juin 2019
Problème
Étant donné un entier n strictement positif, on dénit les nombres réels I n et S n par les formules suivantes
1:
S n =
n−1
X
i=0
n−1
X
j=0
1 i + j + 1
, I n = Z n
0
Z n 0
dy x + y + 1
dx
1. Donner une primitive de la fonction x → ln x puis de x → ln(x + K) où K est un réel xé.
2. Calculer I n
3. Déterminer les constantes A , B , C , D gurant dans le développement de la suite (I n ) n∈N
I n = An + B ln n + C + D n + o( 1
n ) 4. a. Montrer que :
∀(i, j) ∈ {0, · · · , n − 1} 2 : Z i+1
i
Z j+1 j
dy x + y + 1
dx ≤ 1 i + j + 1 b. Montrer que :
∀(i, j) ∈ {1, · · · , n} 2 : 1 i + j + 1 ≤
Z i i−1
Z j j−1
dy x + y + 1
dx
c. En déduire
I n ≤ S n ≤ I n−1 + 2
n
X
k=1
1 k 5. Montrer que la suite (S n ) n∈
Nest équivalente à l'inni à 2n ln 2 . 6. Soit J n l'intégrale suivante :
J n = Z 1
0 n−1
X
k=0
x k
! 2 dx
Établir une relation liant J n et S n . En déduire un équivalent de J n à l'inni.
1
d'après Mines-Ponts 2003 MP1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![1. a. Soit f : [0, π] → R une fonction continue. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable F : [0, π] → R telle que F 0 = f et Z π](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)