Soit u un réel strictement positif, la suite (u

MPSI B 2012-2013 DS 5 (le 14/12/12) 10 janvier 2020

Pb 1.

Soit u un réel strictement positif, la suite (u

)

est dénie par les relations u

= u, ∀n ∈ N : u

= ln(1 + u

).

Soit λ un réel non nul, la suite (v

)

est dénie par

∀n ∈ N : v

= u

− u

.

1. Former le tableau de variation de la fonction x → ln(x + 1) − x .

Soit (x

)

une suite qui converge vers 0. Préciser (sans démonstration) des suites équivalentes pour (e

− 1)

et (ln(1 + x

) − x

)

2. Soit (w

)

une suite de réels qui converge vers un nombre C non nul. Montrer que w

+ w

+ · · · + w

∼ n C.

(rédiger la démonstration)

3. Les suites (u

)

et (v

)

sont-elles bien dénies ? 4. Montrer que (u

)

converge, préciser sa limite.

5. A-t-on u

∼ u

? Justier.

6. Montrer que

v

∼ − λ 2 u

. On pourra utiliser que, pour x au voisinage de 0 ,

ln(1 + x) = x − x

2 + o(x

).

7. En utilisant une valeur de λ bien choisie, trouver un équivalent simple de u

.

Pb 2.

L'objectif du problème est d'étudier l'ensemble noté E des fonctions continues de R dans R solutions d'une certaine équation fonctionnelle

. Soit f ∈ C

( R , R ) quelconque,

f ∈ E ⇔ ∀(x, y) ∈ R

: f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y)

On pourra utiliser librement le résultat suivant dont la démonstration n'est pas demandée.

1d'après Épreuve spécique Mines d'Albi 2000 dont l'origine remonte à "Leçons sur quelques équations fonctionnelles" E Picard 1928. VoirAeqfonc2.pdf

Soit a un réel strictement positif xé et D

= n

a p

2

tq p ∈ Z , q ∈ N o

tout nombre réel est alors la limite d'une suite d'éléments de D

. Partie I.

1. Montrer que la fonction cos est dans E .

2. Exprimer pour x et y réels ch(x+y) à l'aide des fonctions ch et sh en x et y . En déduire que la fonction ch est dans E .

3. Soit f ∈ E et α ∈ R. Montrer que la fonction f

dénie par x 7→ f

(x) = f (αx) est dans E .

4. On xe un élément f ∈ E . Montrer que : a. f (0) ∈ {0, 1}

b. Si f (0) = 0 alors f est la fonction identiquement nulle.

c. Si f (0) = 1 alors f est une fonction paire.

Partie II.

La partie F est constituée par les éléments de E autres que la fonction identiquement nulle et qui s'annulent au moins une fois. Dans toute cette partie f désigne une fonction de F xée. On pose

E = {x > 0 tq f (x) = 0}

1. a. Montrer que f (0) = 1 et que f s'annule au moins une fois sur R

.

b. Montrer que E admet une borne inférieure que l'on notera a . Cette notation est valable pour toute la suite de la partie.

c. Prouver que f (a) = 0 . En déduire a > 0 . d. Montrer que pour tous les x ∈ [0, a[ , f (x) > 0 . 2. On dénit un réel ω et une fonction g dans R :

ω = π

2a g : x 7→ cos(ωx)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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a. Soit q un entier naturel, montrer que f ( a

2

) + 1 = 2 f ( a

2

)

b. En déduire que pour tout entier naturel q : f ( a

2

) = g( a 2

) c. Prouver que f (x) = g(x) pour tout x ∈ D

. 3. Montrer que f = g . En déduire tous les éléments de F . Partie III.

Dans toute cette partie, f désigne une fonction de E qui ne s'annule pas.

1. On dénit par récurrence une suite avec les relations u

= 1

√ 2 , ∀n ∈ N : u

=

r 1 + u

2

Montrer que cette suite est croissante, majorée par 1 et préciser sa limite.

2. a. Montrer que f (x) ≥

2

pour tout x réel.

b. Montrer que f (x) ≥ 1 pour tout x réel.

3. Montrer qu'il existe un réel α ≥ 0 tel que

∀x ∈ R : f (x) = ch(αx)

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