BCPST 1A DS 2 16 juin 2014 Dur´ee 30 minutes.
Les exercices sont ind´ependants
Exercice 1 :
SoitN un entier naturel non nul. On dispose d’un sac contenantN jetons. On se donne la fonction suivante :
d e f s i m u l e ( n , N ) :
u r n e = [ i f o r i i n r a n g e ( 1 ,N+ 1 ) ] t i r e e s = [ ]
f o r i i n r a n g e ( n ) :
i n d e x = random . r a n d i n t ( 0 , N−1) b = u r n e [ i n d e x ]
i f b not i n t i r e e s : t i r e e s . append ( b ) Qn = l e n ( t i r e e s )
r e t u r n Qn
D´ecrire une exp´erience `a partir de ce sac simul´ee par cette fonction. Que repr´esente la variable al´eatoire Qn
Exercice 2 :
Soient n etA deux entiers naturels non nuls avec n 6A et p une un r´eel compris entre 0 et 1 tel que pA soit un entier. Une urne contient A boules indiscernables au toucher : Ap sont num´erot´ees 1, les autres sont num´erot´ees 0. On effectue au hasardn tirages successifs sans remise d’une boule dans cette urne. On note X le nombre de boules num´erot´ees 1.
(1) Proposer une fonctionurne´ecrite en langage Python permettant de simuler une urne telle que celle d´ecrite-ci dessus. Cette fonction prendra comme arguments A et p et retournera une liste compos´ee de A(1−p) 0 suivi de Ap 1.
(2) Proposer une fonction hypergeometrique permettant de simuler une exp´erience.
Cette fonction prendra comme arguments n, A et p et renverra le nombre de boules num´erot´ees 1.
Indication : la fonction Python list.pop(i)supprime le terme d’indice ide la liste et le renvoie.
>>> L
[−1 , 1 , 6 6 . 2 5 , 3 3 3 , 3 3 3 , 1 2 3 4 . 5 ]
>>> elem = L . pop ( 2 )
>>> L
[−1 , 1 , 3 3 3 , 3 3 3 , 1 2 3 4 . 5 ]
>>> elem 6 6 . 2 5
(3) Proposer une fonction esperancepermettant de conjecturer l’esp´erance de cette loi.
Cette fonction prendra comme argumentsN,n,p,Ao`uN est le nombre d’exp´eriences et les autres arguments sont les param`etres d’une exp´erience.
(4) Proposer une fonction loi empirique qui prend en entr´ees N, n, p et A et renvoie une liste X de taille n, avec X[i] la fr´equence des ´ev´enements {X =i} au cours des N exp´eriences simul´ees.
