Etude de fonction ln et Exp

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Etude de fonction ln et Exp

2BAC.SM

Soit nIN et soit f la fonction définie sur _n



^0;^



^par: ^f_n

 

^x ^e^x ¹ ^{n x}^ln

x

   Partie I

1- a- Montrer que :



^{ }^t ^IR



^;e^t  t 1

b- En déduire que :



^{ }^x ^IR



^;e^^x  x 1 0et que :



^{ }^x ^IR



^;¹^



^x^¹



^e^x ^⁰

2- Déterminer : lim 0

 

x f x

 et 0

 

0

lim

x

f x



3- a- Montrer que : ^{ }^x



^0;^



^;

   

0 2

1 1

ln ex x

f x n x

x

    

b- En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation ₀ Partie II

Soit

 

Cn la courbe représentative de f dans un repère orthonormé _n



^{O i j}^{; ;}



1- Etudier les variations de f sur l'intervalle 0, + _n 2- Déterminer

 

0

lim _n

x

f x

 et interpréter graphiquement le résultat obtenu 3- Déterminer les positions relatives de

 

Cn et



Cn_1



.

4- Montrer que toutes les courbes

 

Cn passent par un point fixe que l'on déterminera 5- Montrer que l'équation fn

 

x ⁰admet une solution unique n

 

^0;1

6- Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN^



^; f_n_1

^{ }

_n ln

^{ }

_n et en déduire que :



^{ }ⁿ ^IN^



^;nn_1

En déduire que la suite

 

n est convergente.

7- a- En utilisant la partie /, Montrer que :^{ }^x

 

^0;1 ^:^e^x ¹ ^e ¹

x

   b- En déduire que :



^{ }ⁿ ^IN^



^;^ln

^{ }

ⁿ ¹ ^e

  n c- En déduire que :



^{ }ⁿ ^IN^



^;^ⁿ ^^e¹ⁿ^^e

d- Calculer lim _n

n 



8- Construire

 

C0 et

 

C1 .