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a) Montrer que la fonction ln :]0, ∞ → R est concave.

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Academic year: 2022

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(1)

Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3

e

année

Approfondissement en analyse Année 2018-2019

Complément #1 Exercice #1 (inégalité de Young (II)).

a) Montrer que la fonction ln :]0, ∞ → R est concave.

b) Quelle information donne la concavité du ln sur le signe de la quantité λ ln x + (1 − λ ) ln y − ln( λ x + (1 − λ )y)), ∀ λ ∈ ]0, 1[, ∀ x, y > 0?

c) En déduire d’abord l’inégalité

x

λ

y

1−λ

λ x + (1 − λ )y, ∀ λ ∈ ]0, 1[, ∀ x, y > 0, (1) puis l’inégalité de Young

ab ≤ a

p

p + b

q

q , ∀ a, b ≥ 0, ∀ p, q ∈ ]1, ∞ [ tels que 1 p + 1

q = 1. (2)

Exercice #2 (inégalité de Young (III)).

Soit f : [0,∞[→ [0, ∞[ une fonction continue, strictement croissante telle que f (0) = 0 et lim

x→∞

f (x) = ∞ .

a) Donner deux exemples de telles fonctions « de natures différentes ».

b) Quelles sont les propriétés de la fonction réciproque g de f ? c) Comment obtient-on le graphe de g à partir de celui de f ?

d) À partir de cette représentation graphique, « montrer graphiquement » l’inégalité (toujours de Young)

Z

a

0

f (x) dx + Z

b

0

g(y)d y ≥ ab, ∀ a, b ≥ 0. (3)

e) Prouver (3) par une étude de fonctions.

1. Soient p, q ∈ ]1, ∞ [ tels que 1/p + 1/q = 1. Soit f (x) = x

p1

, ∀ x ≥ 0. Calculer g et écrire ce que devient (3) dans ce cas.

Exercice #3 (espaces `

p

). Soit S l’espace des suites à valeurs dans K = R ou C, S = {a = (a

n

)

n0

; a

n

∈ K , ∀ n ∈ N }.

Pour a ∈ S et 1 ≤ p < ∞ , soit k a k

p

=

à X

n≥0

| a

n

|

p

!

1/p

, avec la convention ∞

1/p

= ∞.

Si a ∈ S , alors

k a k

= sup{ | a

n

| ; n ∈ N },

avec la convention que si un ensemble n’est pas majoré, alors son sup est ∞ . Pour 1 ≤ p ≤ ∞ , soit

`

p

= {a ∈ S ; k a k

p

< ∞ }.

(2)

a) Soit a = (1, 1/2, 1/3, . . .). Pour quelles valeurs de p a-t-on a ∈ `

p

?

b) Si 1 ≤ p < ∞, montrer que k a + b k

p

≤ k a k

p

+ k b k

p

, ∀ a, b ∈ S . (On pourra se rappeler la définition de la somme d’une série.)

c) Déduire de la question précédente que ( `

p

, k k

p

) est un espace normé.

d) (Question plus difficile) Montrer que sup{| a

n

|; n ∈ N } = lim

n→∞

sup{| a

k

|; k = 0, . . . , n}.

e) Déduire de la question précédente que ( `

, k k

) est un espace normé.

Exercice #4 (inégalité de Cauchy-Schwarz (III)). Reprendre, pour un produit scalaire réel,

la preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire complexe.

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