EPFL 26 mars 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 17
L’exercice 5 est à rendre le 2 avril au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Les formes V × V → F suivantes sont elles bilinéaires ? symétriques ? définies positives ?
1. V =F2; φ((x1, x2),(y1, y2)) =x1y¯1x2y¯2
2. V =R2; φ((x1, x2),(y1, y2)) = (x1−x2)(y1+y2) 3. V =C∞(R,R); φ(f, g) = h0(3) où h(x) = f(x)g(x).
4. V =C∞(R,R); φ(f, g) = h0(3) où h(x) = (f ◦g)(x).
5. V =P(R); φ(P(t), Q(t)) =P(1)Q(0) +P(0)Q(1) Exercice 2 Soit V =P2(R). On pose pour P et Q dans V :
φ(P, Q) =
2
X
k=0
P(k)Q(k).
1. Montrer que φ est un produit scalaire sur V.
2. Calculer la norme de X−1 et de X2+ 1. En déduire que ||X(X+ 1)|| ≤√ 2 +√
30.
3. Trouver l’orthogonal de span(1, X) par φ. En déduire que
||3X2−6X+ 1||2+||6X−1||2 = 153.
Exercice 3 Soit V ={f :R→R continue}. On pose pour f et g dans V : φ(f, g) =
Z 2π
0
f(t)g(t)dt
1. Montrer que φ est un produit scalaire sur V. 2. Montrer que : ||1 +√
t|| ≤√
2π(1 +√ π).
3. Montrer que 1 et cos(x) sont orthogonaux par φ. En déduire que :
||1 +cos(x)||2 = 3π.
4. Montrer que
( Z 2π
0
cos(t)etdt)2 ≤ π
2(e4π−1) (indication : Cauchy-Schwarz)
Exercice 4 Soit V un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire φ. Montrer que 4φ(u, v) = ||u+v||2 − ||u−v||2.
Exercice 5 Soient x, y et z trois réels tels que x2 + 2y2 + 3z2 ≤ 1. Montrer l’inégalité : (x+y+z)2 ≤ 116. (On pourra par exemple appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz à certains vecteurs de R3 pour un produit scalaire bien choisi.)
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