II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même

SESSION 2008

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

I. Généralités

1. Soitx∈R. Tout d’abord, pour chaquen∈N^∗, (−1)ⁿ⁻¹

n^x existe. Ensuite,

•Si x≤0, (−1)ⁿ⁻¹

n^x ne tend pas vers0 quandntend vers+∞. On en déduit que la série de terme général (−1)ⁿ⁻¹ n^x est grossièrement divergente. Dans ce cas,F(x)n’existe pas.

•Si x > 0, la suite

(−1)ⁿ⁻¹ n^x

est alternée en signe et sa valeur absolue, à savoir 1

n^x, tend vers0en décroissant. On en déduit que la série de terme général (−1)ⁿ⁻¹

n^x converge en vertu du critère spécial aux séries alternées et donc que F(x) existe.

F est définie sur]0,+∞[.

2. Soitt∈[0, 1[. Pourn∈N^∗,gn(t) = Xn

k=0

(−t)^k= 1− (−t)ⁿ⁺¹ 1− (−t) = 1

1+t −(−t)ⁿ⁺¹

1+t (cart6= −1).

Puisque|−t|< 1,gn(t)tend vers 1

1+t quand ntend vers+∞.

La suite de fonctions(g_n)_n∈N∗ converge simplement sur [0, 1[vers la fonction g : t7→ 1 1+t.

•Chaque fonctiong_n est continue et intégrable sur[0, 1] et pourn∈N^∗, Z1

0

g_n(t)dt= Xn

k=0

(−1)^k Z1

0

t^kdt= Xn

k=0

(−1)^k k+1 =

n+1X

k=1

(−1)^k−1 k .

•La suite de fonctions(g_n)_n∈Nconverge simplement sur [0, 1] vers la fonctiongqui est continue sur [0, 1].

•Soient t∈[0, 1]etn∈N.

|g_n(t)|=

1− (−t)ⁿ⁺¹ 1+t

≤1+|(−t)ⁿ⁺¹|

1+t ≤ 2

1+t =ϕ(t), où la fonctionϕest continue sur le segment[0, 1] et donc intégrable sur ce segment.

D’après le théorème de convergence dominée, la suite Z1

0

g_n(t)dt

!

n∈N

converge et

n→lim+∞

Z1

0

g_n(t)dt= Z1

0

n→lim+∞

g_n(t)

dt= Z1

0

1

1+t dt=ln2.

Maintenant, pourn∈N^∗, Z1

0

g_n(t)dt=

n+1X

k=1

(−1)^k−1

k et donc

n→+∞lim Z1

0

gn(t)dt=

+∞

X

k=1

−1)^k−1

k =F(1), et donc

F(1) = Z1

g(t)dt=ln2.

3. Soitn∈N^∗. Pourx > 0, posonsfn(x) = (−1)ⁿ⁻¹ n^x . Pourx≥2, on a |f_n(x)|= 1

n^x = 1

n² et donc sup{|fn(x)|, x∈[2,+∞[}≤ 1

n². Comme la série numérique de terme général 1

n²,n≥1, converge, la série de fonctions de terme généralf_n,n≥1, converge normalement vers Fsur[2,+∞[.

La série de fonctions de terme généralx7→ (−1)ⁿ⁻¹

n^x ,n≥1, converge normalement sur[2,+∞[.

La série de fonctions de terme généralfn, n ≥1, converge normalement et donc uniformément vers F sur [2,+∞[. De plus, chaque fonctionfn, n≥1, a une limite réelleℓn quandxtend vers+∞à savoirℓn =

1sin=1 0sin≥2 . Le théorème d’interversion des limites permet alors d’affirmer que

• La série numérique de terme généralℓn,n≥1, converge ;

• Fa une limite réelle quandxtend vers+∞;

• lim

x→+∞

F(x) = X+∞

n=1

ℓ_n=1+0+. . .=1.

x→lim+∞

F(x) =1.

4. Dérivabilité de F.

(a)Soitx > 0. la fonction u : t7→ lnt

t^x est dérivable sur]0,+∞[et pourt > 0, u^′(t) = 1

t × 1

t^x +lnt× −x

t^x+1 = 1−xlnt t^x+1 .

u^′(t) est du signe de 1−xlnt sur ]0,+∞[ et donc la fonction u est strictement croissante sur ]0, e^1/x] et strictement décroissante sur[e^1/x,+∞[. Mais alors, pourn≥n₀=E(e^1/x) +1, on a u(n)≥u(n+1)et donc

∀x > 0, la suite lnn

n^x

n≥1

décroît à partir du rangn₀=E(e^1/x) +1.

(b)Soita > 0. Chaque fonction f_n est de classeC¹sur[a,+∞[et pourx≥a,f_n^′(x) = (−1)ⁿlnn n^x .

Soitx≥a. La suite numérique(f_n^′(x))est alternée en signe, tend vers0quandntend vers+∞et la question (a) montre que la suite (|f_n^′(x)|)décroît à partir du rang E(e^1/x) +1. Ainsi, la série numérique de terme généralf_n^′(x) converge en vertu du critère spécial aux séries alternées ou encore la série de fonctions de terme généralf_n^′ converge simplement sur [a,+∞[.

Soitn≥E(e^1/a) +1=n0. Pourx≥a, on a E(e^1/x) +1≤E(e^1/a) +1 et doncn≥E(e^1/x) +1. La question (a) montre alors que la suite

lnn n^x

n≥n0

est décroissante. Mais alors, d’après une majoration classique du reste à l’ordre nd’une série alternée

+∞X

k=n+1

(−1)ⁿlnk k^x

≤

(−1)ⁿ⁺¹ln(n+1) (n+1)^x

= ln(n+1)

(n+1)^x ≤ ln(n+1) (n+1)^a,

et donc, pourn≥E(e^1/a) +1, sup

X+∞

k=n+1

f_n^′(x)

, x∈[a,+∞[

≤ln(n+1)

(n+1)^a. Comme lim

n→+∞

ln(n+1)

(n+1)^a =0, on a montré que la série de fonctions de terme généralf_n^′ converge uniformément sur [a,+∞[.

En résumé,

• La série de fonctions de terme généralfn, n≥1, converge simplement versF sur[a,+∞[;

• chaque fonctionfn est de classeC¹sur[a,+∞[;

• la série de fonctions de terme généralf_n^′ converge uniformément sur[a,+∞[.

D’après une théorème de dérivation terme à terme,Fest de classeC¹sur[a,+∞[etF^′ = X+∞

n=1

f_n^′. Ce résultat étant valable pour tout réela > 0, on a montré que

Fest de classeC¹sur]0,+∞[et∀x > 0, F^′(x) =

+∞X

n=1

(−1)ⁿlnn n^x .

5. Lien avec ζ. Soitx > 1. Déjà, ζ(x)est défini.

Ensuite, sinest un entier impair,(−1)ⁿ⁻¹−1=0et sinest un entier pair,(−1)ⁿ⁻¹−1= −2et donc F(x) −ζ(x) =

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹−1

n^x =

+∞X

p=1

−2

(2p)^x = −2^1−x

+∞X

p=1

1

p^x = −2^1−xζ(x),

et donc,F(x) = (1−2^1−x)ζ(x).

∀x∈]1,+∞[,F(x) = (1−2^1−x)ζ(x).

x→lim+∞

2^1−x=0 et donc lim

x→+∞

ζ(x) = lim

x→+∞

F(x)

1−2^1−x = 1 1−0 =1.

x→lim+∞

ζ(x) =1.

II. Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même

6. Étude de la convergence

(a) Soit x > 1. La série numérique de terme général 1

n^x est convergente ou encore la série de terme général an(x) = (−1)ⁿ⁻¹

n^x est absolument convergente. On sait alors que la série produit de Cauchy de la série de terme généralan(x) par elle-même est convergente et a pour somme

+∞X

n=1

a_n(x)

!2

ou encore (F(x))².

∀x > 1, X

n≥2

cn(x)converge et

+∞

X

n=2

cn(x) = (F(x))².

(b)Soitx > 0. Pourn∈N, posonsa_n(x) =







0sin=0 (−1)ⁿ⁻¹

n^x sin≥1 .

Déjàc₀(x) =a₀(x)²=0 etc₁(x) =a₀(x)a₁(x) +a₁(x)a₀(x) =0. Ensuite pourn≥2, cn(x) =

Xn

k=0

ak(x)an−k(x) =

n−1X

k=1

(−1)^k−1 k^x

(−1)^n−k−1

(n−k)^x = (−1)ⁿ

n−1X

k=1

1 (k(n−k))^x. Maintenant, pourk∈J1, n−1K,k(n−k) = −k²+kn= −

k− n 2

2

+n² 4 ≤n²

4 et donc

|cn(x)|=

n−1X

k=1

1

(k(n−k))^x ≥

n−1X

k=1

1

(n²/4)^x = 4^x(n−1) n^2x .

∀x > 0,∀n≥2, |c_n(x)|≥ 4^x(n−1) n^2x .

Si de plusx∈]0,1

2], pourn≥2 on a

|c_n(x)|≥4^x(n−1)

n^2x ≥ 4^x(n/2)

n^2x =2^2x−1n^1−2x≥2^2x−12^1−2x =1 car1−2x≥0.

Mais alors,cn(x)ne tend pas vers0quandntend vers+∞et la série numérique de terme généralcn(x)est grossièrement divergente.

Si0 < x≤ 1

2, la série X

n≥2

c_n(x)est grossièrement divergente.

7. Cas où x=1 (a)Soitn≥2. 1

X(n−X) = 1 n

n−X+X X(n−X) = 1

n 1

X + 1 n−X

. Puis

cn(1) = (−1)ⁿ

n−1X

k=1

1

k(n−k) = (−1)ⁿ n

n−1X

k=1

1 k+ 1

n−k

= 2(−1)ⁿ n

n−1X

k=1

1

k = 2(−1)ⁿHn−1

n .

∀n≥2,cn(1) = 2(−1)ⁿHn−1

n .

(b)Soitn≥2.

Hn−1

n − Hn

n+1 = 1

n(n+1) (n+1)

n−1X

k=1

1 k−n

Xn

k=1

1 k

!

= 1

n(n+1)

_n−1 X

k=1

1 k

!

−1

!

≥ 1

n(n+1)(1−1) =0, et donc

la suite

H_n−1 n

n≥2

est décroissante.

(c)Pourn≥2, on aHn−1=

n−1X

k=1

1 k ≤1+

n−1X

k=2

Zk

k−1

1

t dt=1+ Zn

1

1

t dt=1+lnn. Par suite, pourn≥2

|cn(1)|≤2(1+lnn)

n .

On en déduit que la suite|c_n(1)|tend vers0 quandntend vers+∞. En résumé, la suite(c_n(1))_n≥2 est de signe alterné et sa valeur absolue tend vers0 en décroissant (d’après (b)). D’après le critère spécial aux séries alternées,

la série X

n≥2

c_n(1)converge.

III. Calcul de la somme d’une série à l’aide d’une étude de zeta au voisinage de 1

8. Développement asymptotique en 1

(a) D’après la question 4.(b), F est de classe C¹ sur ]0,+∞[. En particulier, F est dérivable en 1 et admet donc un développement limité d’ordre1en1 :

F(x) =

x→1F(1) +F^′(1)(x−1) +o(x−1) =ln2+F^′(1)(x−1) +o(x−1)(d’après 2.).

On a aussi

1−2^1−x=1−e^{−ln2(x−1)}=1−1+ln2(x−1) −ln²

(x−1)²+o((x−1)²) =ln2(x−1) − ln²2

(x−1)²+o((x−1)²).

(b)Mais alors quandxtend vers1par valeurs supérieures,

ζ(x) = F(x)

1−2^1−x = ln2+F^′(1)(x−1) +o(x−1) ln2(x−1) − ln²2

2 (x−1)²+o((x−1)²)

= 1

x−1 ×1+ (F^′(1)/ln2)(x−1) +o(x−1) 1−ln2

2 (x−1) +o(x−1)

= 1 x−1

1+F^′(1)

ln2 (x−1) +o(x−1) 1+ ln2

2 (x−1) +o(x−1)

= 1 x−1

1+

F^′(1) ln2 + ln2

2

(x−1) +o(x−1)

= 1 x−1 +

F^′(1) ln2 + ln2

2

+o(1).

ζ(x) =

x→1⁺

1 x−1 +

F^′(1) ln2 +ln2

2

+o(1).

9. Développement asymptotique en 1 (bis) (a)Soientn∈N^∗et x∈[1, 2].

La fonction t 7→ 1

t^x est décroissante sur [n, n+1] et donc (n+1−n) 1 (n+1)^x ≤

Zn+1

n

1

t^x dt ≤ (n+1−n) 1 n^x puis 0≤ 1

n^x − Zn+1

n

1

t^x dt≤ 1

n^x − 1 (n+1)^x.

∀n∈N^∗, ∀x∈[1, 2], 0≤v_n(x)≤ 1

n^x− 1 (n+1)^x.

(b)Soitx∈[1, 2]. La série de terme général 1

n^x − 1

(n+1)^x est de même nature que la suite de terme général 1

n^x (séries télescopiques) c’est-à-dire convergente. La question (a) permet alors d’affirmer quedsumn≥1vn(x)converge.

∀x∈[1, 2], X

n≥1

v_n(x)converge.

(c)Soitx∈]1, 2]. Pourn∈N^∗, Xn

k=1

vk(x) = Xn

k=1

1 k^x −

Zn+1

1

1 t^x dt=

Xn

k=1

1 k^x + 1

x−1 1

t^x−1 n+1

1

= Xn

k=1

1 k^x + 1

x−1

1

(n+1)^x−1 −1

,

et quandntend vers+∞, on obtient

+∞

X

n=1

v_n(x) =ζ(x) − 1 x−1.

∀x∈]1, 2],

+∞X

n=1

v_n(x) =ζ(x) − 1 x−1.

(d)Soitn∈N^∗. D’après (a), pour x∈[1, 2], on a

0≤

+∞X

k=n+1

v_k(x)≤ X+∞

k=n+1

1

k^x − 1 (k+1)^x

= 1

(n+1)^x (série télescopique)

≤ 1 n+1,

et donc sup

X+∞

k=n+1

vk(x)

, x∈[1, 2]

≤ 1

n+1. Comme 1

n+1 tend vers 0 quand n tend vers +∞, on a montré que la suite des restes de la série de fonctions de terme généralv_n converge uniformément vers la fonction nulle sur[1, 2]ou encore

la série de fonctions de terme généralvn,n≥1, converge uniformément sur[1, 2].

(e)Montrons tout d’abord que chaque fonctionvn est continue sur[1, 2].

Soitn∈N^∗. Pour x∈[1, 2], on a

v_n(x) =









 1

n −ln(n+1) +lnnsix=1 1

n^x + 1 x−1

1

(n+1)^x−1− 1 n^x−1

six∈]1, 2]

.

Déjà la fonctionv_n est continue sur]1, 2]et quandxtend vers1,

vn(x) = 1 n^x+ 1

x−1

1

(n+1)^x−1 − 1 n^x−1

= 1

n^x + e^{−(x−1)ln(n+1)}−e^{−(x−1)ln(n)} x−1

= 1

n^x+ (1− (x−1)ln(n+1)) − (1− (x−1)ln(n)) +o(x−1)

x−1 = 1

n− (ln(n+1) −ln(n)) +o(1)

=vn(1) +o(1).

Ainsi, chaquevn est continue sur [1, 2] et puisque la série de fonctions de terme généralvn converge uniformément sur [1, 2], la somme

+∞

X

n=1

vn est une fonction continue sur[1, 2]et en particulier en1.

On déduit alors de la question (c) que

x→1lim⁺

ζ(x) − 1 x−1

= lim

x→1⁺ +∞

X

n=1

vn(x) =

+∞

X

n=1

vn(1) =γ,

et donc que

ζ(x) =

x→1⁺

1

x−1+γ+o(1).

10. Application En comparant les développements obtenus en 8. et 9., on obtient F^′(1) ln2 + ln2

2 = γ et doncF^′(1) = γln2− ln²2

2 . Mais on a vu que pourx > 0,F^′(x) = X+∞

n=1

(−1)ⁿlnn

n^x et donc

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹lnn

n = −F^′(1) = ln²2

2 −γln2.

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹lnn

n = ln2(ln2−2γ)

2 .

IV. Calcul des F(2k) à l’aide des polynômes de Bernoulli

11. B₁^′ =B0=1et donc B1=X+b1avec 0=

Z1

0

B1(t)dt= 1 2+b1. DoncB1=X− 1

2. Ensuite, B₂^′ =2B1=2X−1et doncB2=X²−X+b2avec 0=

Z1

0

B₂(t)dt= 1 3 −1

2 +b₂, et doncb₂= 1

6 puisB₂=X²−X+ 1 6.

B =X− 1

etB =X²−X+1 .

12. Soitn≥2.

Bn(1) −Bn(0) = Z1

0

B_n^′(t)dt=n Z1

0

Bn−1(t)dt=0carn−1≥1.

∀n≥2,B_n(0) =B_n(1).

13.Symétrie Pour n∈N, posonsP_n = (−1)ⁿB_n(1−X). On a déjàP₀=1=B₀. Ensuite, pourn∈N^∗, P_n^′(X) = (−1)ⁿ×−B_n^′(1−X) = (−1)ⁿ⁻¹nBn−1(X) =nPn−1(X),

et d’autre part en posantu=1−t, Z1

0

P_n(t)dt= (−1)ⁿ Z1

0

B_n(1−t)dt= (−1)ⁿ Z0

1

B_n(u)×−du= (−1)ⁿ Z1

0

B_n(u)du=0.

Par unicité de la suite des polynômes deBernoulli, on en déduit que

∀n∈N, Bn(1−X) = (−1)ⁿBn(X).

14.Développement en série de Fourier

Soit k ∈ N. Déjà, g_k est 2π-périodique, de classe C¹ par morceaux et d’après le théorème de Dirichlet, la série de Fourierdeg_k converge en tout réelxvers g(x⁺) +g(x⁻)

2 .

Vérifions quegkest continue surR. Par2π-périodicité, il suffit de vérifier quegk est continue à gauche en2π. Or, d’après 12., sik≥1,B2k(1) =B2k(0), ce qui reste vrai quandk=0. Par suite,

g_k(2π) =g_k(0) =B_2k(0) =B_2k(1) = lim

x→2π⁻B_2k x 2π

=g_k(2π⁻).

Ainsi,gkest continue à gauche en2πet donc surRpar2π-périodicité. Ceci montre que la série deFourierdegk a pour sommegk surR.

Vérifions queg_k est paire. Par2π-périodicité, il suffit de vérifier queg_k(−x) =g_k(x)pourx∈]0, 2π[. Soit doncx∈]0, 2π[.

D’après la question 13., on a

gk(−x) =gk(−x+2π) =B2k

1− x 2π

= (−1)^2kB2k

x 2π

=gk(x),

ce qui montre queg_k est paire. En notanta_n(k)et b_n(k)les coefficients deFourierdeg_k, on en déduit que∀n∈N^∗, bn(k) =0 et donc que

∀x∈R, gk(x) = a0(k)

2 +

+∞

X

n=1

an(k)cos(nx).

15.Expression des coefficients

(a)Pourn∈N^∗ etk∈N^∗, une double intégration par parties fournit

an(k) = 1 π

Z2π

0

B2k

x 2π

cos(nx)dx=2 Z1

0

B2k(u)cos(2nπu)du=2

B2k(u)sin(2nπu) 2nπ

1

0

− Z1

0

B_2k^′ (u)sin(2nπu) 2nπ du

!

=2 − k nπ

Z1

0

B2k−1(u)sin(2nπu)du

!

=2 k nπ

B2k−1(u)cos(2nπu) 2nπ

1

0

− k nπ

Z1

0

(2k−1)B_2k−1(u)cos(2nπu) 2nπ du

!

= k

(nπ)²(B2k−1(1) −B2k−1(0)) − (2k)(2k−1) (2nπ)² ×2

Z1

0

B2k−1(u)cos(2nπu)du

∀n∈N^∗, ∀k∈N^∗,an(k) = k

(nπ)²(B_2k−1(1) −B2k−1(0)) −(2k)(2k−1)

(2nπ)² an(k−1).

(b)On a vu queB₁=X−1

2 et donc pourk=1et n∈N^∗, on obtient an(1) = 1

(nπ)²(B1(1) −B1(0)) − 2

(2nπ)²an(0) = 1

(nπ)²− 2 (2nπ)²

1 π

Z2π

0

cos(nx)dt= 1 (nπ)².

∀n∈N^∗,an(1) = 1 (nπ)².

(c) Soit k ≥ 2. D’après les questions 12. et 13, puisque 2k−1 ≥ 2, on a B2k−1(0) = B2k−1(1) = −B2k−1(0) et donc B_2k−1(0) =B_2k−1(1) =0. La relation de la question (a) s’écrit donc pourn∈N^∗,a_n(k) = −(2k)(2k−1)

(2nπ)² a_n(k−1). Par suite,

an(k) = −(2k)(2k−1)

(2nπ)² ×−(2k−2)(2k−3)

(2nπ)² ×. . .×−(4)(3)

(2nπ)²an(1) = (−1)^k−1(2k)!/2 (2nπ)^2(k−1)

1

(nπ)² = (−1)^k−1(2k)!

2^2k−1(nπ)^2k.

∀n∈N^∗,∀k∈N^∗,a_n(k) = (−1)^k−1(2k)!

2^2k−1(nπ)^2k. 16.Conclusion Pour k∈N^∗, on a aussi

a0(k) = 1 π

Z2π

0

B2k

x 2π

dx=2

Z1

0

B2k(u)du=0.

D’après la question 14., pourk∈N^∗ on a alors b2k=gk(0) =

+∞X

n=1

an(k) = X+∞

n=1

(−1)^k−1(2k)!

2^2k−1(nπ)^2k = (−1)^k−1(2k)!

2^2k−1π^2k

+∞X

n=1

1

n^2k = (−1)^k−1(2k)!

2^2k−1π^2k ζ(2k),

et donc

∀k∈N^∗,ζ(2k) = (−1)^k−12^2k−1π^2kb2k(2k)!.

17.Calcul effectif des bn

(a)Soitn∈N. D’après la formule deTaylor Bn(X) =

Xn

k=0

B^(k)n (0) k! X^k=

Xn

k=0

(n!/(n−k)!)B_n−k(0)

k! X^k=

Xn

k=0

n k

bn−kX^k.

∀n∈N,Bn(X) = Xn

k=0

n k

bn−kX^k.

(b)Soitn∈N^∗. En intégrant l’égalité précédente sur [0, 1], on obtient 0=

Z1

0

B_n(t)dt= Xn

k=0

n k

bn−k

k+1, et donc

b0=1et ∀n∈N^∗, bn= − Xn

k=1

n k

bn−k

k+1.

Algorithme en MAPLE.

restart ; bn:=proc(n) local j, k, B, S;

B[0]:=1;

if n>0 then

for j from 1 to n do S :=0;

for k from 1 to j do

S :=S-binomial(j,k)*B[j-k]/(k+1) od ;

B[j]: =S od;

print(B[n]) else print(B[0]) fi

end ;