Etudier la série de terme général :

PanaMaths Novembre 2006

Etudier la série de terme général :

n n

b

n a

u a

= b où a et b sont deux réels strictement positifs.

Analyse

La forme du terme général suggère de travailler avec son logarithme népérien. Une discussion apparaît alors assez naturellement …

Résolution

Les réels a et b étant strictement positifs, nous avons affaire à une série dont le terme général est strictement positif et pouvons poser, pour tout entier nature n :

ln ln ln ln

n

n b

n n

n n a

v u a b a a b

= = b = −

La limite de

( )

vn va dépendre des valeurs des réels a et b par rapport à la valeur 1 (présence de lna et lnb) mais aussi de l’égalité éventuelle de ces deux réels (cas « très » particulier où

vn vaut 0 pour tout entier naturel n).

1^er cas : a=b

Dans ces conditions, on a, pour tout entier naturel n, v_n=0 et u_n =1. La série

∑

u_n ^diverge trivialement.

2^ème cas : a≠b

• Si a=1 ou b=1, on a respectivement 1 un

=b ou u_n=a. Dans les deux cas, la suite

( )

un est constante non nulle et la série

∑

u_n diverge trivialement.

• Si a et b appartiennent à l’intervalle

] [

^0;1 , on a : lim ⁿ lim ⁿ 0

n a n b

→+∞ = →+∞ = et : lim _n 0

n v

→+∞ = . On en déduit alors : lim _n 1

n u

→+∞ = et la série

∑

u_n diverge trivialement ;

• Si 0< < <a 1 b, on a lim ⁿ 0

n a

→+∞ = et lna<0.

PanaMaths Novembre 2006

On en déduit _n^lim_→+∞^{vn =}_n^lim_→+∞

(

^bnlna

)

^{= −∞.}

On a : v_n ∼bⁿlna et _n^lim_→+∞

(

^vn−bnlna

)

⁼⁰. On en déduit, en passant à

l’exponentielle : u_n∼a^bn. La série

∑

a^bn est convergente (règle de D’Alembert, par exemple, ou : il existe n₀ tel que, à partir de ce rang, bⁿ >n. On a alors a^bn <aⁿ et

an

∑

converge car 0< <a 1). D’où : la série

∑

u_n converge.

• Si 0< < <b 1 a, on a lim ⁿ 0

n b

→+∞ = et lnb<0. On en déduit n^lim vn n^lim

(

a^nlnb

)

→+∞ = →+∞ − = +∞. D’où : lim _n

n u

→+∞ = +∞. La série

∑

u_n diverge trivialement.

• 1< <a b. On a alors : ln ln ln ln

n n

n n

n n

a a

v b a b b a b

b b

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠= ⎜⎜⎝ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟⎠. Comme a<b,

on a : lim 0

n

n

a

→+∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠b . Il vient alors : lim _n

n v

→+∞ = +∞. D’où : lim _n

n u

→+∞ = +∞. La série un

∑

diverge trivialement.

• 1< <b a. On a alors : ln ln ln ln

n n

n n

n n

b b

v a a b a a b

a a

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠= ⎜⎜⎝⎜ ⎟⎝ ⎠ − ⎟⎟⎠. Comme b<a,

on a : lim 0

n

n

b

→+∞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠a . On a alors : _n^lim_→+∞^{vn =}_n^lim_→+∞

(

^−anlnb

)

^{= −∞ et vn ∼−anlnb. Mais}

on ne peut cette fois en déduire un équivalent de u_n car _n^lim_→+∞

(

^vn+anlnb

)

^{≠0 (la}

limite de cette différence est infinie).

Pour autant, nous allons pouvoir conclure en posant :

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

ln ln ln ln 1

1 ln 1 ln

n n n n n

n n n n n

b b

b a b b

n

n a b a a a a

n

n n

u a b a a

w u b a b b

b b a a a b

+ +

+ +

− − +

− −

= = × = =

= − − −

Comme, 1< <b a, on a : n ^{n n}

(

^{1 ln}

) (

^{1 ln}

)

w a b b a a b

a

⎡⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎢⎣⎜ ⎟⎝ ⎠ − − − ⎥⎥⎦.

On en déduit alors : lim _n

n w

→+∞ = −∞, d’où : lim ⁿ¹ 0

n n

u u

+

→+∞ = . La série

∑

u_n converge.

En résumé, la série

∑

u_n converge dans deux situations :

• 0< < <a 1 b ;

• 1< <b a.

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Résultat final

Pour a et b réels strictement positifs, la série de terme général

n

n b

n a

u a b

= est convergente dans les deux cas suivants : 0< < <a 1 b et 1< <b a.