PanaMaths Novembre 2007
Etudier la converge et calculer la somme de la série de terme général :
( )
2
1
n
1
u = n n + .
Analyse
On obtient facilement un équivalent de un en +∞. Il permet de justifier la convergence.
Le calcul de la somme requiert au préalable d’avoir décomposé la fraction
( )
2
1 1 n n+ en éléments simples.
Résolution
On a d’abord :
( )
2
*, 01
n 1
n n
∀ ∈ >
+ . On a donc affaire à une série à termes positifs.
On a ensuite :
( )
2 3
1 1
n 1 n n
u = + +∞∼ n . Or, 13
∑
n converge (l’exposant de n est strictement supérieur à 1). On en déduit finalement :un
∑
converge.Il vient ensuite :
( )
2 2
1 1 1 1
*, 1 1
n n n n n n
∀ ∈ = − + +
+ +
La somme partielle :
( )
2
1 1
1 1
n n
n i
i i
S u
i i
= =
= =
∑ ∑
+ s’écrit alors :( )
2 2 2
1 1 1 1 1
1
2 2
1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
n n n n n
n
i i i i i
n n n n
i i i i
S i i i i i i i i
i i i n i
= = = = =
+
= = = =
⎛− ⎞
= + = ⎜⎝ + + + ⎟⎠= − + + +
= − + + = − + +
+
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
PanaMaths Novembre 2007
En utilisant le résultat classique :
2 2 1
1
n n 6 π
+∞
=
∑
= , il vient alors :2
lim 1
n 6
n S π
→+∞ = −
Résultat final
La série
( )
2
1 1 n n+
∑
converge et :( )
2 2
1
1 1
1 6
n n n
π
+∞
=
= −
