Etudier la série de terme général :

PanaMaths Février 2005

Etudier la série de terme général :

4 2

4 2

ln 3

2 1

n

n n n

u n n n

+ +

= + − +

Analyse

On doit d’emblée remarquer que l’argument du logarithme népérien est une fraction rationnelle en n dont le degré du numérateur est égal à celui du dénominateur.

On exploite cette remarque de deux manières :

• D’une part, on montre qu’à partir d’une certain rang, on a : u_n >0 ;

• D’autre part, on peut trouver un équivalent de u_n au voisinage de +∞.

Résolution

On a :

4 2 4 2 2

3 2 1 2 1 0

n + n + >n n + n − + ⇔n n + n− >

On trouve facilement les racines du polynôme X²+2X −1 : 1− − 2 et 1− + 2. Comme 1− − 2 <0 et ^{− +1 2∈}

] [

*, 3 1

2 1

n n n

n n n n

+ +

∀ ∈ >

+ − +

` .

D’où :

4 2

4 2

*, ln 3 0

2 1

n n n

n n n n

+ +

∀ ∈ >

+ − +

` .

Finalement : ∀ ∈n `*,u_n >0.

On a donc affaire à une série dont le terme général est strictement positif pour n>1.

Effectuons la division du polynôme ^{P X}

( )

( )

Q X = X + X − +X . On obtient immédiatement :

( )

( )

( )

4 2

4 2 2

2

3

2 1 2 1

2 1

P X X X X

X X X X X

Q X X X

= + +

= + − + + + −

= + + −

PanaMaths Février 2005

On a alors :

(

)

4 2 2

4 2 4 2 4 2

2 1 2 1

3 2 1

2 1 2 1 1 2 1

n n n n n

n n n n n

n n n n n n n n n

+ − + + + −

+ + = = + + −

+ − + + − + + − +

Au voisinage de +∞, le rapport

2

4 2

2 1

2 1

n n

n n n

+ −

+ − + est un infiniment petit équivalent à 1₂ n (rapport des termes de plus haut degré).

On en déduit alors que

2

4 2

2 1

ln 1 2 1

n n

n n n

⎛ + + − ⎞

⎜ + − + ⎟

⎝ ⎠ est également équivalent à 1₂

n au voisinage de +∞.

Comme les terme général de la série

∑

n et que la série 1₂

∑

un

∑

Résultat final

La série de terme général

4 2

4 2

ln 3

2 1

n n n

n n n

+ +

+ − + est convergente.