Etudier la converge et calculer la somme de la série de terme général :

PanaMaths Novembre 2009

Etudier la converge et calculer la somme de la série de terme général :

2

ln 1 1 u

n

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

Analyse

On montre facilement que le terme général de cette série est de signe constant.

Ensuite, un équivalent du terme général permet de conclure quant à la convergence.

Enfin, on simplifie l’expression d’une somme partielle quelconque pour pouvoir en calculer la limite.

Résolution

Notons, dans un premier temps, que le terme u_n est défini pour tout entier naturel n supérieur à 2. On a, pour un tel entier : 1₂

1 1

−n < et, de fait : 1₂

ln 1 0

n

⎛ − ⎞<

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

On en déduit que la série considérée est une série à termes strictement négatifs.

On a immédiatement l’équivalence : 1₂ 1₂ ln 1 n ^+∞ n

⎛ − ⎞ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠∼ . Or, la série 1₂

∑

n est une série de Riemann convergente. Il en va donc de même pour la série 1₂

n

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

et, ensuite, pour la série

2

ln 1 1 n

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^.

On a alors :

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

2 2 2

2 2 2

1 1

2 2 1 3

2 2

2 2

ln 1 1

1 1

1 1

ln 1 ln ln

1 1 1 ! 1 !

ln ln ln 2

!

n n

k

n n n

k k k

n n n n

k k k k

n n

k k

S k

k k

k

k k k

k k k k n n

k k n

=

= = =

− +

= = = =

= =

⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠

⎡ ⎤

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎛ − + ⎞

⎡ ⎛ ⎞⎤ −

= ⎢⎣ ⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦= ⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠⎥⎦= ⎢⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠⎥⎥⎦

⎛ ⎞

⎛ − + ⎞ ⎜ ⎟ − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎜⎝ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ ⎟⎟⎟⎠=

∑

∏ ∏ ∏

∏ ∏ ∏ ∏

∏ ∏

²

ln 1 2 n

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ + ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

PanaMaths Novembre 2009

Comme : 1 1

lim lim

2 2 2

n n

n n

n n

→+∞ →+∞

+ = = , on a immédiatement :

lim ln1 ln 2

n 2

n S

→+∞ = = −

Résultat final

La série 1₂

ln 1 n

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

converge et : ₂

2

ln 1 1 ln 2

n n

+∞

=

⎛ − ⎞= −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^.