la série de terme général :

(1)

Soit ∑ u

_n

la série de terme général :

( )

!

1 1 1 2 1 3 ... 1 1 1

n

u

n n

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + + + + +

1. Etablir la convergence de ∑ u

_n

^. 2. Calculer

0 n n

u

+∞

∑

=

(on introduira la suite ( ) a

n

telle que pour tout entier naturel n : a

_n ^⎛_⎜

1 n 1

^⎞_⎟

u

_n

⎝ ⎠

= + + ).

Analyse

Une situation intéressante où l’établissement de la convergence de la série est plus délicat que le calcul de sa somme (d’où la première question …). Malgré une certaine simplicité

apparente de l’expression de u_n, la présence des racines carrées perturbe un peu cette vision des choses. Pour s’en convaincre, nous montrons d’abord que la règle de D’Alembert ne permet pas de conclure quant à la convergence de

∑

u_n^.

Résolution

Question 1.

Notons d’abord que nous avons affaire à une série à termes (strictement) positifs.

Malgré la présence des racines carrées, nous sommes dans un « monde » essentiellement multiplicatif.

Pour étudier la limite de la suite

( )

un , nous pouvons considérer la suite

( )

vn telle que pour tout entier naturel non nul :

( )( ) (

^!

)( )

ln ln

1 1 1 2 ... 1 1 1

n n

v u n

n n

= =

+ + + + + .

(2)

On a immédiatement :

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

1

ln !

1 1 1 2 ... 1 1 1

ln ln 1 1

1

ln ln 1 1

1

ln 1 ln 1 1

ln 1 1 ln 1 1

n

k n

k

v n

n n

k

n k

k n

k

k n

k

n k

=

= + + + + +

= − + +

+

= − + +

+

= − + − + +

⎛ ⎞

= − ⎜⎝ + ⎟⎠− + +

⎛ ⎞

= − ⎜⎝ + ⎟⎠− + +

∏

∑

La série 1

ln 1 n

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

est une série à termes positifs et on a : 1 1

ln 1 n ^+∞ n

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠∼ . Comme la série 1

∑

n est une série divergente, il en va de même pour 1 ln 1

n

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^{et on}

a :

1

lim ln 1 1

n

n^→+∞k= k

⎛ + ⎞= +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

^.

Enfin, on a : _n^{lim 1}_→+∞

(

⁺ ⁿ^{+ = +∞}¹

)

et donc : _n^{lim ln 1}_→+∞

(

⁺ ⁿ^{+ = +∞}¹

)

^.

En définitive :

( )

1

lim lim ln 1 1 ln 1 1

n

n n n

k

v n

→+∞ →+∞ = k

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢⎣−

∑

⎜⎝ + ⎟⎠− + + ⎥⎦= −∞^. Il vient donc : lim _n 0

n u

→+∞ = .

Pour la suite de l’étude, il semble assez « naturel » d’explorer la règle de D’Alembert.

(3)

Pour tout entier naturel n, nous avons :

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1

1 !

1 1 1 2 ... 1 1 1 2

!

1 1 1 2 ... 1 1 1

1 !

! 1 1 1 2 ... 1 1 1 2

1 1

1 2

1

1 2

n n

n

n n

u

u n

n n

n

n n n

n

n n

n

+

+ + + + + +

=

+ + + + +

= + ×

+ + + + + +

= + ×

+ +

= +

+ +

On a alors, pour tout entier naturel n non nul :

1

1 1

1

1 2 1 2 1 2

1 1

n n

u n n n n

u n

n n n n n

+

+ +

= + = =

⎛ ⎞

+ + ⎜ + + ⎟ + +

⎝ ⎠

Comme lim ¹ lim ² 0

n^→+∞ n =n^→+∞n = , on a : 1 2 1 2

lim 1 lim 1 lim 1 1

n^→+∞ n n^→+∞ n n^→+∞ n n

⎛ ⎞

+ = + = ⎜⎜⎝ + + ⎟⎟⎠= . Finalement : lim ⁿ¹ 1

n n

u u

+

→+∞ = .

Nous ne pouvons donc pas conclure.

Nous allons chercher maintenant à majorer u_n par le terme général d’une série convergente.

Comme nous l’avons noté dans le calcul de lim _n

n u

→+∞ , le facteur 1+ n+1 joue, en quelque sorte, un rôle particulier. Nous allons donc nous intéresser au produit :

(

¹⁺ ^{1 1}

)(

⁺ ^{2 ... 1}

) (

⁺ ⁿ

)

(4)

On a :

( )( ) ( ) ( )

( )

1 1 1 2 ... 1 1 1 2 3 ... 1

1 2 1 3 ... 1

...

! ! ! !

...

1 2 1 3 1 4 1

! ! ! !

1 2 3 ...

!

n n n

n n

n n n n

n n

n n n n

n n

+ + + = + + + + + − +

+ + + −

+

⎛ ⎞

⎜ ⎟

+ + + + +

⎜ × × × − × ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

+⎜⎜⎝ + + + + ⎟⎟⎠ +

La somme

( )

! ! ! !

1 2 1 3 1 4 ... 1

n n n n

n n

+ + + +

× × × − × , qui comporte

(

¹

)

2 2

n n n−

⎛ ⎞=

⎜ ⎟⎝ ⎠ termes, est particulièrement intéressante :

( )( ) ( ) ₍ ₎

( )

( ) ( )

! ! ! !

1 1 1 2 ... 1 ...

1 2 1 3 1 4 1

1 ! 1

1 !

2 1 2

n n n n

n

n n

n n n

n n n

n n

+ + + > + + + +

× × × − ×

> − × = − ×

− × Il vient alors :

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

!

1 1 1 2 ... 1 1 1

1 !

1 1

1 1 1 2 ... 1

1 ! 2

1 1 ! 1 1 1 1 1

2

n

u n

n n

n n n

n

n n n n

n n n

= + + + + +

= ×

+ +

+ + +

< × =

+ + − × × + +

− ×

On a immédiatement :

( )

1 1

1 n

n− ×n^+∞∼ et 1 1 1+ n+1^+∞∼ n . On en déduit :

(

ⁿ^{− × × +}¹

)

ⁿ²

(

¹ ⁿ⁺¹

)

^+∞^∼ _n²³² ^.

Or, la série ₃

2

2 n

∑

est (à un facteur multiplicatif 2 près) une série de Riemann convergente.

On en déduit finalement :

La série

∑

u_n converge.

(5)

Question 2.

La suggestion de l’énoncé « découle » de la remarque faite précédemment quant au facteur

« 1+ n+1 » apparaissant dans l’expression de u_n.

Avec ^aⁿ ^{= +}

(

¹ ⁿ⁺¹

)

^uⁿ, il vient, pour tout entier naturel n :

( ) ( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

1 1 2 1 1 1

1 ! !

1 1 1 2 ... 1 1 1 1 1 1 2 ... 1 1

1 ! 1 1 !

1 1 1 2 ... 1 1 1

1 ! ! 1 !

1 1 1 2 ... 1 1 1

!

1 1 1 2 ... 1 1 1

n n n n

n

a a n u n u

n n

n n n n

n n n

n n

n n n

n n

n

n n

u

+ − = + + + − + +

= + −

+ + + + + + + + +

+ − + +

= + + + + +

+ − − +

= + + + + +

= −

+ + + + +

= −

Ainsi, pour tout entier naturel n :

1

n n n

u =a −a₊

En notant alors classiquement :

0 n

n k

k

S u

=

∑

, il vient :

(

1

)

0 1

0 0

n n

n k k k n

k k

S u a a ₊ a a ₊

= =

=

∑

=

∑

− = −

Comme ^a⁰^{= +}

(

¹ ^{0 1}⁺

) (

^u⁰^{= +}¹ ¹

)

₁₊^0!₁ ⁼¹, on a finalement : ₁

0

1

n

n k n

k

S u a ₊

=

∑

= − ^.

A la question précédente, nous avions posé :

( )( ) ( )( )

(

¹

) ( )

1

ln !

1 1 1 2 ... 1 1 1

ln ln 1 1

1

n

k n

k

v n

n n

k

n k

=

= + + + + +

= − + +

+

∏

C'est-à-dire : ^vⁿ ⁼^ln^aⁿ⁻^{ln 1}

(

⁺ ⁿ⁺¹

)

^.

(6)

Nous avions établi :

1

lim ln 1 1

n

n^→+∞k= k

⎛ + ⎞= +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

, c'est-à-dire ^lim

(

^ln n

)

n a

→+∞ − = +∞. Nous en avions alors conclu : lim ln _n

n a

→+∞ = −∞ et enfin : lim _n 0

n a

→+∞ = . En passant alors à la limite dans l’égalité ₁

0

1

n

n k n

k

S u a₊

=

∑

= − , il vient finalement :

0 0

lim lim 1 0 1

n

n k k

n n

k k

S u u

+∞

→+∞ →+∞

= =

=

∑

=

∑

= − =

( )( ) ( )( )

0

! 1

1 1 1 2 ... 1 1 1

n

n n

+∞

=

+ + + + + =