) de terme général u

EXERCICE 1 :

Étudier la convergence de la suite (u

) de terme général u

= √

n

+ 1 − √

n

− 1

• • • EXERCICE 2 :

Pour n > 1, on définit S

= 1 + 1 2 + 1

3 + . . . + 1

n − ln(n), puis S

= S

− S

. Déterminer un équivalent simple de S

.

En utilisant cet équivalent, que peut-on dire sur le sens de variation de la suite (S

) ?

• • •

EXERCICE 3 : Soit

f : R −→ R

x 7−→ e

sin(x) Montrer que, ∀ n ∈ N , f

(x) = 2

e

sin

x + nπ 6

.

———————————————————————–

II Sujet 2

EXERCICE 1 :

Déterminer le sens de variation de la suite (u

) de terme général : u

= n!

n

.

• • •

EXERCICE 2 : Calculer lim

n→+∞

1 2 ( √

2 + √

3)

.

• • •

EXERCICE 3 :

Soit a, b, c ∈ R . Montrer qu’il existe x ∈ ]0; 1[ tel que

4ax

+ 3bx

+ 2cx = a + b + c

III Sujet 3

EXERCICE 1 :

Déterminer le sens de variation de la suite (u

) de terme général : u

= √

n.

• • •

EXERCICE 2 : On pose S

=

n

X

k=1

√ 1 k . 1. Justifier que

√ 1

n + 1 6 2( √

n + 1 − √ n) 6 1

√ n 2. Déterminer la limite de (S

).

3. On pose u

= S

− 2 √ n. Montrer que (u

) converge.

4. Donner un équivalent simple de (S

).

• • •

EXERCICE 3 :

1. Énoncer la formule de Mac Laurin appliquée à une fonction h de classe C

sur un intervalle [0; x] ; 2. Applications : démontrer que,

∀ x > 0, 1 − x 3 + 2

9 x

− 14

81 x

6 1

√

1 + x 6 1 − x 3 + 2

9 x

.

Sujet 1 : exo 1

En 0, √

1 + x = 1 + 1 3 x − 1

9 x

+ o(x

). On parvient à u

= 2 3n

+ o

1 n

et (u

) −→ 0 ;

• • •

Sujet 1 : exo 2

S

= 1

n + 1 − ln(n + 1) + ln(n) = 1 n × 1

1 +

− ln

1 + 1 n

= 1 n

1 − 1

n + o 1

n

− 1

n − 1 2n

+ o

1 n

et

S

= − 1 2n

+ o

1 n

et donc S

∼

∞

− 1 2n

• • •

Sujet 1 : exo 3

Par récurrence sur n ∈ N . Pour n = 0, la propriété est vraie.

Supposons la propriété établie pour un n ∈ N . On dérive f

. On obtient : f

(x) = 2

√ 3 sin

x + nπ 6

+ cos x + nπ

6

e

. Et

f

(x) = 2

sin

x + (n + 1)π 6

L’hérédité est établie donc la propriété est démontrée pour tout n.

———————————————————————–

Sujet 2 : exo 1

u

= n!

n

−→ u

u

= 1

(1 + 1/n)

< 1 donc (u

) est décroissante.

• • •

I Sujet 2 : exo 2

√

2 + √

3 = 2

+ 3

= e

+ e

= 2 + ln(6) n + o

1 n

D’où 1

2 ( √

2 + √

3) = 1 + ln(6) 2n + o

1 n

et par suite, n ln 1

2 ( √

2 + √

3)

= ln(6) 2n + o

1 n

car ln(1 + x) = x + o(x).

La limite cherchée est donc √ 6.

• • •

Sujet 2 : exo 3

On définit la fonction

h : [0; 1] −→ R

x 7−→ ax

+ bx

+ cx

− (a + b + c)x

h est dérivable sur [0; 1] et, h(0) = 0 = h(1). On applique le théorème de Rolle et on conclut qu’il existe x

∈ ]0; 1[

tel que

h

(x

) = 0 ⇔ 4ax

+ 3bx

+ 2cx

= a + b + c

———————————————————————–

Sujet 3 : exo 1

u

= √

n −→ u

= f (n) avec f (x) = e

; f

(x) = f (x) × 1 − ln(x)

x

donc (u

) décroissante à partir du rang 3 ;

• • •

Sujet 3 : exo 2

On pose S

=

n

X

k=1

√ 1 k . 1. Pour tout n, 2( √

n + 1 − √ n) = 2

√ n + 1 + √ n donc 1

√ n + 1 6 2( √

n + 1 − √ n) 6 1

√ n . En effet 2

√ n + 1 + √ n 6 2

2 √ n et 2

√ n + 1 + √ n > 2 2 √

n + 1 . 2. Compte-tenu de l’inégalité précédente S

>

n

X

k=1

2( √

k + 1 − √ k) et

n

X

k=1

2( √

k + 1 − √

k) = 2 √

n + 1 − 2.

Avec l’utilisation du théorème de comparaison, S

−→

→+∞

+ ∞ . 3. ∀ n ∈ N , u

= S

− 2 √ n.

Pour tout n, S

− 2 √ n > 2 √

n + 1 − 2 − 2 √ n > − 2 donc (u

) est minorée.

u

− u

= 1

√ n + 1 − 2( √

n + 1 − √ n) 6 0 (cf Q.a) donc (u

) est décroissante.

Ainsi (u

) converge.

4. ∀ n ∈ N , S

= 2 √

n + u

. Or comme (u

) converge, u

√ n

n>1

tend vers 0, lorsque n tend vers + ∞ . On peut donc écrire que u

= o( √ n).

On reporte et l’on obtient S

= 2 √ n + o( √ n) et 2 √ n + o( √ n)

∼

∞

2 √ n donc S

∼

∞

2 √ n.

• • •

Sujet 3 : exo 3

On pose f : x 7→ (1 + x)

. Pour tout x ∈ ] − 1; + ∞ [, on a : f

(x) = − 1

3 (1 + x)

; f

(x) = 4

9 (1 + x)

; f

(x) = − 28

27 (1 + x)

; f

(x) = 280

81 (1 + x)

.

− 81 √

1 + x − 3 9 De même, à l’ordre 4 :

(1 + x)

= 1 − x 3 + 2

9 x

− 14

81 x

+ 35

243 x

(1 + θ

x)

, avec θ

∈ [0; 1].

Ett, puisque 35

243 x

(1 + θ

x)

> 0, que 1

√

1 + x > 1 − x 3 + 2

9 x

− 14

81 x

.