1. Énoncer et démontrer une formule de Leibniz relative à la dérivée d'ordre n d'un produit de deux fonctions de classe C ∞ .

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Problème 1

Ce texte est une introduction aux fonctions génératrices.

Préliminaire

1. Énoncer et démontrer une formule de Leibniz relative à la dérivée d'ordre n d'un produit de deux fonctions de classe C ^∞ .

2. Soit u un réel xé non nul, écrire le développement limité en 0 à l'ordre n (entier quelconque) de

t → 1 u − t .

PARTIE I : Nombres de Fibonacci

On considère une fonction f dénie dans un intervalle ouvert I contenant 0 par :

∀t ∈ I, f(t) = 1 1 − t − t ² .

Cette fonction est clairement de classe C ^∞ dans son domaine, on note

∀n ∈ N , f n = f ⁽ⁿ⁾ (0) n! . On dénit aussi la suite de Fibonacci par les relations

ϕ 0 = ϕ 1 = 1, ∀n ≥ 2, ϕ n = ϕ n−1 + ϕ n−2 . 1. Préciser l'intervalle I . Calculer f ₀ , f ₁ , f ₂ , f ₃ .

2. Montrer, en considérant (1 − t − t ² )f (t) que ϕ _n = f _n pour tous les entiers n . 3. Montrer que 1 + ϕ 0 + ϕ 1 + · · · + ϕ n = ϕ n+2 pour tous les entiers n .

4. a. Calculer des réels u , v , α , β tels que

∀t ∈ I, 1

1 − t − t ² = α

u − t + β v − t .

b. Exprimer la suite (ϕ n ) n∈ N comme combinaison linéaire de deux suites géomé- triques à préciser.

PARTIE II : Nombres de dérangements.

On dénit une fonction g dans I = ]−∞, 1[ en posant

∀t ∈ I, g(t) = e ^−t 1 − t .

Cette fonction est clairement C ^∞ , on pose d n = g ⁽ⁿ⁾ (0) pour tout entier n .

On appelle dérangement d'un ensemble E toute bijection σ de E dans E qui ne laisse xe aucun point de E . C'est à dire σ(ω) 6= ω pour tous les ω de E . On note δ _n le nombre de dérangements d'un ensemble à n éléments. On pose arbitrairement δ ₀ = 1 .

1. Calculer d ₀ , d ₁ , d ₂ , d ₃ . 2. Calculer δ 1 , δ 2 , δ 3 .

3. Montrer, en considérant un développement limité de e ^t g(t) , que pour tout entier n : 1 =

n

X

k=0

1 (n − k)!

d k

k! . 4. Montrer que δ _n = d _n pour tout entier n .

5. Montrer les relations suivantes pour n ≥ 2 : δ n = n!

1 2! − 1

3! + · · · + (−1) ⁿ n!

, (−1) ⁿ n! = δ n

n! − δ _n−1 (n − 1)! .

PARTIE III : Nombres de partitions.

On dénit une fonction h dans R en posant

∀t ∈ R , h(t) = e ^e

⁻¹ .

Cette fonction est clairement C ^∞ , on pose p n = h ⁽ⁿ⁾ (0) pour tout entier n .

On rappelle qu'une partition d'un ensemble E est un ensemble de parties non vides de E , deux à deux disjointes et dont l'union est E . On note π n le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments. On pose arbitrairement π 0 = 1 .

1. Calculer p 0 , p 1 , p 2 , p 3 . 2. Calculer π ₁ , π ₂ , π ₃ .

3. En utilisant h ⁰ et des développements limités, montrer que

∀n ∈ N , p n+1 =

n

X

k=0

n k

p k . 4. Montrer que p n = π n pour tout entier n.

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Problème 2

Dans ce problème ¹ , on considère une suite de lancers indépendants d'une même pièce, pouvant donner Face avec la probabilité p ∈]0, 1[ et Pile avec la probabilité q = 1 − p . Pour tout entier n ≥ 1 , on considère les événements

F n : le n -ième lancer a donné Face, P n : le n -ième lancer a donné Pile.

Dans la première partie, on s'intéresse au numéro du lancer où, pour la première fois, on a obtenu deux Faces consécutifs. Dans la partie II, on généralise avec r lancers consécutifs donnant Face.

Préliminaires

1. Soit n ∈ N ^∗ , L = (L 1 , · · · , L n ) ∈ { Pile , Face } ⁿ et m ≥ n . L'expérience aléatoire consiste à réaliser m lancers. Quelle est la probabilité d'obtenir L lors des n premiers lancers ? Vérier que cette probabilité est indépendante de m (toujours ≥ n ).

2. Soit a , b , c réels. Montrer que





1 1 1

a b c

a ² b ² c ²





est inversible si et seulement si a, b, c sont deux à deux distincts.

I. Première obtention de deux Faces consécutifs.

Pour tout entier n ≥ 1 , on considère l'événement E n dont la probabilité est notée p n

E n : une suite de deux Faces consécutifs est obtenue pour la première fois à l'issue du n -ième lancer.

1. Établissement d'une relation de récurrence.

a. Préciser les événements E 1 , E 2 , E 3 et leurs probabilités p 1 , p 2 , p 3 . b. Montrer que

∀n ∈ N ^∗ , E n+3 = F n+3 ∩ F n+2 ∩ P n+1 ∩ E n ∩ · · · ∩ E 2 ∩ E 1

c. Montrer que

∀n ∈ N ^∗ , p _n+3 = p ² q 1 −

n

X

k=1

p _k

!

1

d'après E.P.I.T.A. 2016 Épreuve optionnelle

d. En déduire :

∀n ∈ N ^∗ , p n+3 = p n+2 − p ² qp n

Quelle valeur doit-on conventionnellement attribuer à p ₀ pour que la relation soit valable pour n = 0 ?

2. Suites et matrices.

On considère dans cette question le polynôme P = X ³ − X ² + p ² q , l'ensemble U des suites (u _n ) _n∈

N à valeurs réelles telles que

∀n ∈ N , u n+3 = u n+2 − p ² q u n

et la matrice

A =





0 1 0

0 0 1

−p ² q 0 1



 .

a. Montrer que U est un R-espace vectoriel et préciser sa dimension. Préciser une base de U (nommée B ) dans laquelle la matrice du vecteur (u n ) _n∈

N est



 u 0

u 1

u 2



 .

Montrer que (u n ) _n∈

N 7→ (u n+1 ) _n∈

N dénit un endomorphisme de U (nommé S ) dont la matrice dans B est A .

b. Former la division euclidienne de P par X − p . Montrer que P admet trois racines réelles p , r 1 , r 2 avec −1 < r 2 < 0 < r 1 < 1 .

c. Soit λ ∈ R. Sous quelle condition la matrice A − λI ₃ est-elle non inversible ? d. Montrer que U admet une base (nommée G ) formée de suites géométriques sauf

pour une valeur particulière de p à préciser. Quelle est la matrice de S dans cette base ? Quelle est la matrice de passage de B dans G ?

3. Expression des probabilités p n . Montrer que

∀n ∈ N , p _n = p ² r ⁿ⁻¹ ₁ − r ⁿ⁻¹ ₂ r 1 − r 2

4. Temps d'attente moyen.

a. Calculer la limite de ( P n

k=1 p _k ) _n∈

N

. b. Calculer la limite de ( P n

k=1 kp k ) _n∈N

en fonction de p seulement (ni r 1 ni r 2 ne doivent gurer dans l'expression de la limite).

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II. Première obtention de r Faces consécutifs.

Dans cette partie r ∈ N avec r ≥ 3 . Pour tout entier n ≥ 1 , on considère l'événement E _n dont la probabilité est notée p n

E _n : une suite de r Faces consécutifs est obtenue pour la première fois à l'issue du n -ième lancer.

1. Montrer que

∀n ∈ N ^∗ , p _n+r+1 = p ^r q 1 −

n

X

k=1

p _k

!

En déduire :

∀n ∈ N ^∗ , p _n+r+1 = p _n+r − p ^r qp _n

Quelle valeur doit-on conventionnellement attribuer à p 0 pour que la relation soit valable pour n = 0 ?

2. Développements limités.

On considère le polynôme B = 1 − X + p ^r q X ^r+1 et un intervalle ouvert I contenant 0 dans lequel B ne s'annule pas.

a. Justier l'existence de I .

b. Soit F = ^Q _B avec Q ∈ R r [X ] . Montrer que F (restreinte à I ) admet des dévelop- pements limités en 0 à tous les ordres. On note u ₀ , u ₁ , · · · les coecients de ces développements :

∀n ∈ N , F (x) = u 0 + u 1 x + · · · + u n x ⁿ + o(x ⁿ ) Montrer que

∀m ≥ r + 1, u _m = u _m−1 − p ^r q u _m−r−1 c. Former le produit des deux développements limités

p

q + p ^r x ^r + o(x ^r )

1 − x + p ^r qx ^r+1

3. Fonction génératrice.

Préciser le polynôme Q ∈ R r [X ] tel que, pour tout n > r , le développement limité en 0 à l'ordre n de G = ^Q _B soit

G(x) = p ₀ + p ₁ x + · · · + p _n x ⁿ + o(x ⁿ ).

Calculer G(1) et G ⁰ (1) .

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