MPSI B Année 2016-2017. Énoncé DS 10 (2h) le 03/05/17 29 juin 2019
Dans ce problème
1, on considère une suite de lancers indépendants d'une même pièce, pouvant donner Face avec la probabilité p ∈]0, 1[ et Pile avec la probabilité q = 1 − p . Pour tout entier n ≥ 1 , on considère les événements
F
n: le n -ième lancer a donné Face, P
n: le n -ième lancer a donné Pile.
Dans la première partie, on s'intéresse au numéro du lancer où, pour la première fois, on a obtenu deux Faces consécutifs. Dans la partie II, on généralise avec r lancers consécutifs donnant Face.
Préliminaires
1. Soit n ∈ N
∗, L = (L
1, · · · , L
n) ∈ { Pile , Face }
net m ≥ n . L'expérience aléatoire consiste à réaliser m lancers. Quelle est la probabilité d'obtenir L lors des n premiers lancers ? Vérier que cette probabilité est indépendante de m (toujours ≥ n ).
2. Soit a , b , c réels. Montrer que
1 1 1
a b c
a
2b
2c
2
est inversible si et seulement si a, b, c sont deux à deux distincts.
I. Première obtention de deux Faces consécutifs.
Pour tout entier n ≥ 1 , on considère l'événement E
ndont la probabilité est notée p
nE
n: une suite de deux Faces consécutifs est obtenue pour la première fois à l'issue du n -ième lancer.
1. Établissement d'une relation de récurrence.
a. Préciser les événements E
1, E
2, E
3et leurs probabilités p
1, p
2, p
3. b. Montrer que
∀n ∈ N
∗, E
n+3= F
n+3∩ F
n+2∩ P
n+1∩ E
n∩ · · · ∩ E
2∩ E
1c. Montrer que
∀n ∈ N
∗, p
n+3= p
2q 1 −
n
X
k=1
p
k!
1d'après E.P.I.T.A. 2016 Épreuve optionnelle
d. En déduire :
∀n ∈ N
∗, p
n+3= p
n+2− p
2qp
nQuelle valeur doit-on conventionnellement attribuer à p
0pour que la relation soit valable pour n = 0 ?
2. Suites et matrices.
On considère dans cette question le polynôme P = X
3− X
2+ p
2q , l'ensemble U des suites (u
n)
n∈N
à valeurs réelles telles que
∀n ∈ N , u
n+3= u
n+2− p
2q u
net la matrice
A =
0 1 0
0 0 1
−p
2q 0 1
.
a. Montrer que U est un R-espace vectoriel et préciser sa dimension. Préciser une base de U (nommée B ) dans laquelle la matrice du vecteur (u
n)
n∈N
est
u
0u
1u
2
.
Montrer que (u
n)
n∈N
7→ (u
n+1)
n∈N
dénit un endomorphisme de U (nommé S ) dont la matrice dans B est A .
b. Former la division euclidienne de P par X − p . Montrer que P admet trois racines réelles p , r
1, r
2avec −1 < r
2< 0 < r
1< 1 .
c. Soit λ ∈ R. Sous quelle condition la matrice A − λI
3est-elle non inversible ? d. Montrer que U admet une base (nommée G ) formée de suites géométriques sauf
pour une valeur particulière de p à préciser. Quelle est la matrice de S dans cette base ? Quelle est la matrice de passage de B dans G ?
3. Expression des probabilités p
n. Montrer que
∀n ∈ N , p
n= p
2r
n−11− r
n−12r
1− r
24. Temps d'attente moyen.
a. Calculer la limite de ( P
nk=1
p
k)
n∈N∗
. b. Calculer la limite de ( P
nk=1
kp
k)
n∈N∗en fonction de p seulement (ni r
1ni r
2ne doivent gurer dans l'expression de la limite).
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1610EMPSI B Année 2016-2017. Énoncé DS 10 (2h) le 03/05/17 29 juin 2019
II. Première obtention de r Faces consécutifs.
Dans cette partie r ∈ N avec r ≥ 3 . Pour tout entier n ≥ 1 , on considère l'événement E
ndont la probabilité est notée p
nE
n: une suite de r Faces consécutifs est obtenue pour la première fois à l'issue du n -ième lancer.
1. Montrer que
∀n ∈ N
∗, p
n+r+1= p
rq 1 −
n
X
k=1
p
k!
En déduire :
∀n ∈ N
∗, p
n+r+1= p
n+r− p
rqp
nQuelle valeur doit-on conventionnellement attribuer à p
0pour que la relation soit valable pour n = 0 ?
2. Développements limités.
On considère le polynôme B = 1 − X + p
rq X
r+1et un intervalle ouvert I contenant 0 dans lequel B ne s'annule pas.
a. Justier l'existence de I .
b. Soit F =
QBavec Q ∈ R
r[X ] . Montrer que F (restreinte à I ) admet des dévelop- pements limités en 0 à tous les ordres. On note u
0, u
1, · · · les coecients de ces développements :
∀n ∈ N , F (x) = u
0+ u
1x + · · · + u
nx
n+ o(x
n) Montrer que
∀m ≥ r + 1, u
m= u
m−1− p
rq u
m−r−1c. Former le produit des deux développements limités
p
q + p
rx
r+ o(x
r)
1 − x + p
rqx
r+13. Fonction génératrice.
Préciser le polynôme Q ∈ R
r[X ] tel que, pour tout n > r , le développement limité en 0 à l'ordre n de G =
QBsoit
G(x) = p
0+ p
1x + · · · + p
nx
n+ o(x
n).
Calculer G(1) et G
0(1) .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
