MPSI B Année 2015-2016 DM 11 pour le vendredi 19/02/16 29 juin 2019
Dans tout le problème,Kest un sous-corps deC. On utilisera en particulier queKn'est pas un ensemble ni.
Tous les espaces vectoriels considérés sont desKespaces vectoriels de dimension nie.
L'objet du problème est d'établir des propriétés des familles de sous-espaces vectoriels de même dimension.
SiAetBsont deux sous-espaces vectoriels d'unK-espace vectorielE, on dira queAest un hyperplan deB si et seulement siA⊂B et dimA= dimB−1. Seule cette dénition est utilisée dans le problème, aucune interprétation en terme de forme linéaire n'est nécessaire.
La partie III est indépendante des deux premières.
Partie I.
Dans cette partie,E désigne un espace vectoriel xé.
1. (question de cours) SoitAetB deux sous-espaces vectoriels deE. a. Montrer que l'application :
ϕ :
(A×B→E (a, b)→a+b est linéaire. Préciser son image.
b. Montrer, en précisant l'isomorphisme, quekerϕest isomorphe àA∩B. c. En déduire
dim(A+B) = dimA+ dimB−dim(A∩B)
2. SoitAun sous-espace vectoriel deE et x∈E qui n'appartient pas àA. Montrer que dim(Vect(A∪ {x})) = dimA+ 1
3. SoitA6=B deux hyperplans deE. Montrer queA∩B est un hyperplan deB. 4. Montrer que tout sous-espace vectoriel deE autre que E lui même est contenu dans
un hyperplan.
Partie II. Supplémentaires d'un sous-espace donné.
SoitAetBdeux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectorielE. On se propose de montrer que l'ensemble des supplémentaires deB est en bijection avec l'ensembleL(A, B) des applications linéaires deAdansB.
1. Soitf ∈ L(A, B). Montrer que l'application ϕf :
(A→E a→a+f(a)
est linéaire et injective. Que peut-on en déduire pourdim(Imϕf)? Dans toute la suite, on notera :
∀f ∈ L(A, B) :Af = Imϕf
2. Montrer que pour toutf ∈ L(A, B),Af est un supplémentaire deB. 3. Montrer que sif etg sont deux applications linéaires deAversB :
Af =Ag⇒f =g 4. SoitA1un supplémentaire quelconque de B. On note :
pA1,B la projection surA1 parallélement àB pB,A1 la projection surB parallélement àA1 Soitf la restriction àAde−pB,A1. Montrer que
Af =A1
5. Conclure en précisant le rôle des questions précédentes.
6. Montrer que l'ensemble des hyperplans d'unK-espace vectorielE est inni.
7. (hors barème - hors programme) Dans le cas où leKn'est plus dansCmais un corps ni de cardinalqetE de dimensionn, montrer queE est ni. Combien a-t-il d'éléments ? Pourquoi le résultat qui est l'objectif de la partie III est-il faux dans ce cas ? Combien un sous-espace vectorielB de dimensionsadmet-il de supplémentaires ?
Partie III. Supplémentaire commun
Dans cette partie, on considère des familles(A1, A2,· · ·, Ap)de sous-espaces deux à deux distincts d'un espace vectorielE. LesAi sont de même dimensionm∈J1,dimE−1K. On veut montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel B qui est un supplémentaire de chacun des sous-espacesAi.
1. Cas dimE = 2. Dans ce cas, chaque Ai est une droite vectorielle (c'est aussi un hyperplan). Il existe des vecteurs non nulsa1,· · ·, ap tels que
A1= Vect(a1),· · ·, Ap= Vect(ap)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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A1= Vect(a1) A4= Vect(a4)
A3= Vect(a3)
A2= Vect(a2) B1= Vect(b1)
B= Vect(b)
Fig. 1: Partie III.dimE= 2.
a. Justier l'existence d'un vecteurb1 tel que(a1, b1)soit une base deE.
b. Pour ientre2 et p, on note αi et βi les coordonnées deai dans la base(a1, b1). Montrer queβi6= 0 pourientre2et p.
c. Justier l'existence d'un scalaireλtel que
b=λa1+b16∈A1∪A2∪ · · · ∪Ap
2. Dans cette question, on pourra utiliser le résultat de la question II.6 (dans un es- pace vectoriel il existe une innité d'hyperplans). Soit (A1, A2,· · ·, Ap) une famille d'hyperplans vériant les conditions indiquées en début de partie. Montrer que
A1∪A2∪ · · · ∪Ap6=E
3. Soit(A1, A2,· · · , Ap)une famille vériant les conditions indiquées en début de partie.
Montrer que
A1∪A2∪ · · · ∪Ap6=E
4. On veut maintenant montrer le résultat annoncé ; c'est à dire l'existence d'un sup- plémentaire commun B aux sous-espaces d'une famille (A1, A2,· · ·, Ap) vériant les conditions indiquées en début de partie.
a. Cas m = dimE−1. Soit x un vecteur qui n'est pas dans A1∪A2∪ · · · ∪Ap, montrer queVect(x)est un supplémentaire commun.
b. Montrer le résultat dans le cas général.
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