II. Dénition d'un sous-espace ane . . . . 2

Sous-espaces anes d'un espace vectoriel

Rédaction incomplète. Version 0.2

31 mars 2020

Plan

I. Espace vectoriel comme ensemble de points . . . . 1

II. Dénition d'un sous-espace ane . . . . 2

III. Intersection de sous-espaces anes. . . . . 2

IV. Barycentres . . . . 3

V. Repères et bases anes . . . . 4

Index

associativité de la barycentration, 3 barycentration positive, 3

barycentre d'une famille de points pondérés, 3 changement de repère, 4

coordonnées anes, 4

direction d'un sous-espace ane, 2

partie convexe, 4 projection ane, 3 relation de Chasles, 1 repère ane, 4 sous-espace ane, 2 translation, 1

Ce texte est la dernière partie du cours d'algèbre linéaire. La partie précédente est Applications linéaires et dimension nie.

I. Espace vectoriel comme ensemble de points

Les espaces vectoriels fournissent de bons modèles pour pratiquer la géométrie élémentaire

¹

.

On convient d'appeler point un élément d'un K -espace vectoriel (en général K = R). Les éléments d'un espace vectoriel possèdent donc deux casquettes : ils sont à la fois points et vecteurs. On peut adopter des conventions typographiques ; par exemple noter les éléments considérés comme des points avec des capitales A , B , P · · · et les éléments considérés comme des vecteurs avec des minuscules u , v , w · · · .

L'utilisation d'une èche au dessus − − →

est associée à la soustraction dans l'espace vectoriel. On note

∀(A, B) ∈ E

²

(vus comme des points) , − − →

AB = B − A (vu comme un vecteur soustraction de deux vecteurs) Avec une telle notation, les relations de Chasles sont immédiates

∀(A, B, C) ∈ E

³

, − − →

BA = A − B = −(B − A) = − − − →

AB, − − → AB + − − →

BC = (B − A) + (C − B ) = C − A = −→

AC

On peut noter le rôle particulier joué par le vecteur nul

∀A ∈ E, A = −−→

0 _E A

Dénition (translation). Soit E un K -espace vectoriel et u ∈ E . La translation de vecteur u est l'application

t _u :

( E → E M 7→ M + u

Remarques. Pour tous A , B , u dans E ,

− − →

AB = u ⇔ B = A + u ⇔ B = t u (A) Pour tous u et v dans E , t u ◦ t v = t u+v .

1

Des compléments sortis du programme de la mpsi sont présentés dans les documents Espaces anes et Géométrie élémentaire du

plan

II. Dénition d'un sous-espace ane

Dénition. Soit E un K -espace vectoriel et A une partie de E . Pour tout élément a

₀

de A , on pose D a

₀

(A) = {a − a

0

, a ∈ A} = {−−→ a

0

a, a ∈ A} .

Remarque. D a

₀

(A) est l'ensemble des vecteurs issus de a

0

et d'extrémité dans A .

Dénition. Soit E un K -espace vectoriel et A une partie de E . Pour tout élément x de E , on pose x + A = {x + u, u ∈ A} .

Remarque. On regarde D a

₀

(A) comme un ensemble de vecteurs et x + A comme un ensemble de points. Par dénition, pour une partie A donnée (vue comme un ensemble de points),

∀a

₀

∈ A, A = a

₀

+ D _a

₀

(A) = {a

₀

+ x, x ∈ D _a

₀

(A)}

Proposition. Soit A une partie d'un K -espace vectoriel E . S'il existe un a

0

∈ A tel que D a

₀

(A) est un sous-espace vectoriel de E , alors

∀a

1

∈ A, D a

₁

(A) = D a

₀

(A).

Preuve. On doit prouver deux inclusions.

Montrons que D _a

₁

(A) ⊂ D _a

₀

(A) . Soit u

₁

∈ D _a

₁

(A) , il existe α ∈ A tel que u

₁

= α − a

₁

. Alors u

1

= α − a

0

| {z }

∈Da0(A)

− (a

1

− a

0

)

| {z }

∈D_a0(A)

∈ D a

₀

(A) (stable par addition)

Montrons que D a

₀

(A) ⊂ D a

₁

(A) . Attention, on ne peut pas raisonner comme pour la première inclusion car c'est D a

0

(A) qui est un sous-espace vectoriel et non D a

1

(A) .

Soit u

₀

∈ D _a

₀

(A) , il existe α ∈ A tel que u

₀

= α − a

₀

. On peut écrire u

₀

comme u

₀

= (α − a

₀

+ a

₁

) − a

₁

On doit montrer que α − a

0

+ a

1

∈ A . Or : α − a

₀

+ a

₁

= α − a

₀

| {z }

∈Da0(A)

+ a

₁

− a

₀

| {z }

∈Da0(A)

+ a

₀

∈ a

₀

+ D _a

₀

(A) = A

car D _a

₀

(A) est stable par addition.

Dénition. On dira qu'une partie A d'un K espace vectoriel E est un sous-espace ane si et seulement si il existe un a

₀

∈ A tel que

D a

₀

(A) = {a − a

0

, a ∈ A}

est un sous-espace vectoriel de E . Ce sous-espace vectoriel, indépendant du a

0

d'après la première proposition est appelé la direction du sous-espace ane.

Remarque. Un singleton est un sous-espace ane de direction {0 E } .

Exemple. Soit f ∈ L(E, F ) et y ∈ F . L'ensemble des solutions dans E d'une équation f (x) = y est vide si y n'est pas dans l'image de f et c'est un sous-espace ane de direction ker f lorsque y ∈ Im f .

Cet exemple recouvre les cas des équations diérentielles linéaires avec second membre, des systèmes linéaires et des polynômes interpolateurs.

III. Intersection de sous-espaces anes.

Dénition. On dira que deux sous-espaces anes sont parallèles lorsque la direction de l'un est incluse dans la direction de l'autre.

Proposition 1. Soit A un sous-espace ane de direction A et B un sous-espace ane de direction B . Si A ∩ B

est non vide, alors A ∩ B est un sous-espace ane de direction A ∩ B .

Preuve. Soit m

0

∈ A ∩ B .

∀m ∈ E, m ∈ A ∩ B ⇔

( m − m

0

∈A

m − m

0

∈B ⇔ m − m

0

∈ A ∩ B.

On en déduit que

{m − m

0

, tq m ∈ A ∩ B} = A ∩ B.

Remarque. Lorsque A ∩ B = {0 E } , l'intersection A ∩ B est soit vide soit réduite à un singleton.

Proposition 2. Soit A un sous-espace ane de direction A et B un sous-espace ane de direction B . Lorsque A + B = E , l'intersection A ∩ B est non vide.

Preuve. Soit a ∈ A et b ∈ B . Comme A + B = E , on peut décomposer la diérence :

∃α ∈ A et β ∈ B tels que b − a = α + β ⇒ a + α

| {z }

∈A

= b + (−β )

| {z }

∈B

∈ A ∩ B.

Proposition 3. Soit A un sous-espace ane de direction A et B un sous-espace ane de direction B . Lorsque A et B sont supplémentaires, l'intersection A ∩ B est un singleton.

Preuve. Comme A +B = E , la proposition 2 montre que A ∩ B est non vide. Comme A ∩ B = {0 E } , la proposition 1 montre que l'intersection se réduit à un singleton.

Dénition. Soit A un sous-espace ane de direction A , soit B un sous-espace vectoriel supplémentaire de A . La projection sur A parallèlement à B est l'application qui à tout point m de E associe l'unique élément de A ∩ (m + B) .

IV. Barycentres

Proposition - Dénition (barycentre d'une famille de points pondérés). Soit (a

1

, · · · , a p ) une famille de p points de E et m

1

, · · · , m p ) une famille de p éléments de K tels que m

1

+ · · · +m p 6= 0 . Il existe alors un unique b tel que

m

1

(b − a

1

) + · · · + m p (b − a p ) = 0 E ⇔ b = m

1

P p

i=1 m _i a i + · · · + m p

P p

i=1 m _i a p . Ce point b est appelé le barycentre de la famille de points pondérés ((a i , m i )) _i∈

J1,pK

et noté B((a _i , m _i )) _i∈J

_1,p

K

. Les m i sont appelés les masses aectées aux points.

Remarque. Lorsque toutes les masses sont positives, on parle de barycentration positive.

Proposition. Soit ((a i , m i )) _i∈

J1,pK

une famille de points pondérés avec m

1

+ · · · + m p 6= 0 et λ 6= 0 dans K . alors B((a i , m i )) _i∈

J1,pK

= B((a i , λm i )) _i∈

J1,pK

. Preuve. Évident : les λ se simplient dans l'expression du barycentre.

Remarque. Une conséquence de la proposition précédente est que l'on peut toujours multiplier les masses d'une famille de points pondérés par un nombre choisi pour que la somme soit égale à 1 .

Proposition (associativité de la barycentration). Dans une famille de points pondérés, on peut remplacer une sous-famille par son barycentre aecté de la somme des masses.

Soit g = B((a i , m i )) _i∈

J1,qK

le barycentre d'une famille de q points pondérés et p < q . On peut remplacer les derniers points par leur barycentre aecté de la somme des masses :

b = B((a i , m _i )) _{i∈J p+1,q}

K

m = m p+1 + · · · + m q

)

⇒ g = B ((a

1

, m

1

), · · · , (a p , m p ), (b, m)) .

Preuve. Notons µ la masse totale : µ = m

1

+ · · · + m q = m

1

+ · · · + m p + m et exprimons g .

µ g = m

1

a

1

+ · · · + m p a p +





 m p+1 a p+1 + · · · + m q a q

| {z }

=mb





 = (m

1

+ · · · + m p + m)

| {z }

=µ

B ((a

1

, m

1

), · · · , (a p , m p ), (b, m)) .

Dénition. On dira qu'une partie A de E est stable par barycentration si et seulement si le barycentre d'une famille pondérée (de somme non nulle) quelconque de points de A est dans A .

Proposition. Une partie A de E est ane si et seulement si elle est stable par barycentration.

Preuve. Montrons d'abord que si A est ane alors elle est stable par barycentration.

Supposons A = a

0

+ A avec A sous-espace vectoriel de E . Soit g = B((a i , m i )) _i∈

J1,qK

le barycentre d'une famille de q points pondérés (masse totale notée m ).

mg = m

1

a

1

+ · · · + m q a q ⇒ m(g − a

0

) =

q

X

i=1

m i (a i − a

0

| {z }

∈A

) ∈ A ⇒ g ∈ a

0

+ A

car A est stable par combinaison linéaire.

Montrons maintenant que si A est stable par barycentration, alors c'est une sous-espace ane.

Soit a ∈ A xé. On doit montrer que A a est un sous-espace vectoriel.

Soit x ∈ A et λ ∈ K . Soit a x = a + x ∈ A . Considérons le barycentre b de ((a x , λ), (a, 1 − λ)) . Par hypothèse b ∈ A donc b − a ∈ A a et

λ(a _x − b) + (1 − λ)(a − b) = 0 _E ⇒ λ(a _x − a) = b − a ⇒ λx ∈ A _a

Soit x et y dans A a , notons a x = a + x et a y = a + y les deux points de A associés. Considérons le milieu m de ces deux points. C'est l'isobarycentre donc il est dans A . On en tire

x + y = 2(m − a) ∈ A _a

car m − a ∈ A a et en utilisant la stabilité par multiplication déjà montrée.

Dénition (Parties convexes). Une partie d'un R-espace vectoriel est convexe si est seulement si elle est stable par barycentration positive.

V. Repères et bases anes

Dénition (Repère ane). Un repère ane est un couple formé d'un point nommé origine du repère et d'une base de l'espace vectoriel.

Dénition (Fonctions coordonnées dans un repère ane). Soit (A, A) un repère ane avec A = (a

₁

, · · · , a _n ) . Les fonctions coordonnées anes sont des fonctions de E dans K notées (x

₁

, · · · , x _n ) dénies par :

∀M ∈ E, −−→

AM = x

1

(M )a

1

+ · · · + x n (M )a n .

Remarque. Si α

₁

, · · · , α _n sont les fonctions coordonnées dans A : ∀i ∈ J 1, n K , x _i (M ) = α _i ( −−→

AM) .

Montrons comment traiter deux problèmes qui se posent dans un contexte de changement de repères anes.

1. Soit R = (O, ( − → i , − →

j , − →

k )) et R

₁

= (A, ( − → u , − → v , − → w )) deux repères. Si on connait les coordonnées des éléments de R

1

dans R , on peut facilement exprimer les fonctions coordonnées dans R

1

avec les fonctions coordonnées dans R

2

. Montrons le sur un exemple seulement.

Les fonctions coordonnées sont notées (x, y, z) dans R et (X, Y, Z) dans R

1

.

∀M ∈ E,

−→ OA = − → i + 3 − →

j − − →

k ×1

−

→ u = − → i + − →

j + − →

k ×X (M )

−

→ v = − → i + 2 − →

j − − →

k ×Y (M )

−

→ w = − − → i − − →

j ×Z(M )

−−→ OM = x(M ) − →

i + y(M ) − →

j + z(M ) − → k



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



⇒



 

 

x(M ) = 1 + X(M ) + Y (M ) − Z(M ) y(M ) = 3 + X(M ) + 2Y (M ) − Z(M ) z(M ) = −1 + X (M ) − Y (M )

.

Pour exprimer X, Y, Z en fonction de x, y, z , il faut inverser des expressions soit à la n soit en exprimant les − →

i , · · · avec les − → u , · · · .

2. Calculer le repère si on connait les coordonnées.

Soit R = (O, ( − → i , − →

j )) un repère. Les fonctions coordonnées dans ce repère sont (x, y) . On se donne deux autres fonctions X et Y . Par exemple

X = 1 + 2x − y, Y = −1 + 3x − 2y.

Les fonctions X et Y sont-elles les fonctions coordonnées dans un repère ? Lequel ? En général oui. Plus précisément lorsque le déterminant qui généralise

2 −1 3 −2 est non nul. La preuve est constructive.

Si un tel repère (A, ( − → I , − →

J )) existe, notons I = A + − →

I , J = A + − →

J . Ces points sont caractérisés par les

relations (

X (A) = 0 Y (A) = 0

( X (I) = 1 Y (I) = 0

( X(J ) = 0 Y (J ) = 1

Il sut de résoudre les systèmes correspondants pour trouver dans le repère de départ (O, ( − → i , − →

j )) les coordonnées de ces points et d'en déduire celles des vecteurs de base.

A :

( 2x(A) − y(A) = −1 3x(A) − 2y(A) = 1 ⇔

( x(A) = −3 y(A) = −5 , I :

( 2x(I) − y(I) = 0 3x(I) − 2y(I) = 1 ⇔

( x(I) = −1 y(I) = −2 , J :

( 2x(J ) − y(J ) = −1 3x(J ) − 2y(J ) = 2 ⇔

( x(J ) = −4 y(J ) = −7 . On connait les coordonnées de A dans R ainsi que les vecteurs de base

−

→ I = − → AI = 2 − →

i + 3 − → j , − →

J = −→

AJ = − − → i − 2 − →

j .

La notion d'application ane a bizarrement disparu du programme.

y

O x

A

I

J

X

Y

Fig. 1: Nouveau repère