1. (Elinmat51.tex) Soitt6= 0 r´eel fix´e et (un)n∈
Nune suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 sht un+1+ (1−(cht)2)un On supposeu0= 1 etu1= 0, exprimeruk pour k∈N.
2. (Elinmat23.tex) SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie et Aun sous-espace vectoriel de E. Soit R l’appli- cation de restriction `aA d’un endomorphisme deE.
On affecte des lettres `a des th´eor`emes de cours
a. Th´eor`eme du prolongement lin´eaire appliqu´e `aA.
b. Th´eor`eme du prolongement lin´eaire appliqu´e `aE.
c. Th´eor`eme d’existence d’une base appliqu´e `aA.
d. Th´eor`eme d’existence d’une base appliqu´e `aE.
e. Th´eor`eme de la base incompl`ete appliqu´e `aA.
f. Th´eor`eme de la base incompl`ete appliqu´e `aE.
Par quelle s´equence ordonn´ee de ces th´eor`emes peut-on d´emontrer queR est surjective ?
3. (Elinmat31.tex) DansR3, exprimerx= (2,1,7) comme com- binaison lin´eaire dey= (1,1,2) et dez= (1,2,−1).
4. (Eexo282.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3 a2 = e1−2e2+ 2e3 a3 = e1+e2+e3
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3
e2 = a1−a2
e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a2, a3) parall`element `a e1
5. (Elinmat22.tex) SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie et A un sous-espace vectoriel de E. Soit R l’ap- plication de restriction `a A d’un endomorphisme de E.
On admet queR est lin´eaire et surjective. Quelle est la dimension de son noyau ?
6. (Elinmat7.tex) Pr´eciser selon λ, le rang de la matrice sui- vante :
−2λ−2 −8 4
−2λ−4 −3λ−10 3λ+ 5 4λ+ 2 3λ−4 2
7. (Elinmat29.tex) Soit (a, b) une base d’un espace vectorielE et e, f,g,h,udansL(E) v´erifiant
e(a) =a, e(b) = 0E f(a) =b, f(b) = 0E
g(a) =a, g(b) =a
h(a) =a, h(b) =b
u(a) =a+b, u(b) =−a+ 2b
On admet que (e, f, g, h) est une base deL(E). Calculer les coordonn´ees deudans cette base.
8. (Elinmat32.tex) DansR3, exprimerx= (4,2,0) comme com- binaison lin´eaire dey= (1,2,3) et dez= (1,0,−1).
9. (Eexo297.tex) Calculer le d´eterminant de la matrice suivante
−2 3 3 0
2 0 −2 0
2 0 −1 −1
−2 0 1 1
10. (Eexo281.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3
a2 = e1−2e2+ 2e3
a3 = e1+e2+e3
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3 e2 = a1−a2 e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a1, a3) parall`element `ae3
11. (Elinmat36.tex) Soitθr´eel fix´e non congru `a π2 moduloπet (un)n∈
Nune suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 cosθ un+1− un
1 + tan2θ On supposeu0= 1 etu1= 0, exprimeruk pourk∈N. 12. (Elinmat4.tex) Soit (e1, e2, e3) une base d’unRespace vec-
torielE. On d´efinit trois vecteurs u1=e1+e2+e3
u2= 2e1+e3 u3= 2e2+e3
Former la matrice de passage PAB pour A= (e2, e3, e1)
B= (u3, u1, u2)
13. (Elinmat38.tex) Soitθr´eel fix´e non congru `a π2 moduloπet (un)n∈
N une suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 cosθ un+1+ (4 + 4 cos 2θ)un On supposeu0= 1 etu1= 0, exprimeruk pour k∈N. 14. (Elinmat37.tex) Soitθr´eel fix´e non congru `a π2 moduloπet
(un)n∈N une suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 cosθ un+1− un 1 + tan2θ On supposeu0= 0 etu1= 1, exprimeruk pour k∈N. 15. (Elinmat6.tex) Pr´eciser selon λ, le rang de la matrice sui-
vante :
−λ+ 1 −3λ−5 λ−1
−3λ+ 3 −2λ−6 λ−1
−3λ+ 3 3λ+ 1 −λ+ 1
16. (Elinmat49.tex) Soitt6= 0 r´eel fix´e et (un)n∈Nune suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2 = 2 cht un+1−un
On supposeu0= 1 etu1= 0, exprimeruk pour k∈N. 17. (Elinmat9.tex) Pr´eciser selon λ, le rang de la matrice sui-
vante :
−2λ−4 −λ −5λ
5λ 3λ 0
λ−4 2λ λ
18. (Elinmat12.tex) Pr´eciser le rang de la matrice suivante :
−12 −6 12
12 6 −12
6 3 −6
19. (Elinmat45.tex) Dans un plan, on se donne un rep`ere (O,(i, j)). Les fonctions coordonn´ees dans ce rep`ere sont not´ees x et y. On se donne 3 points A, U, V par leurs coordonn´ees :
x(A) = 2, y(A) = 1;
x(U) = 4, y(U) = 2; x(V) = 1, y(V) = 3 On noteu=−→
AU et v =−→
AV. On admet que (A,(u, v)) est un rep`ere dont les fonctions coordonn´ees sont not´ees X et Y. ExprimerX etY en fonction dexet y.
20. (Eexo62.tex) L’ensemble des suites de nombres r´eels qui convergent vers 1 est-il un sous espace vectoriel de l’es- pace des suites ?
21. (Elinmat10.tex) Pr´eciser selonλ, le rang de la matrice sui- vante :
0 λ2+λ −2λ2−2λ
−2λ 0 λ
0 0 0
22. (Elinmat8.tex) Pr´eciser selon λ, le rang de la matrice sui- vante :
−8λ+ 1 −1 6λ−2 2λ−1 1 −λ+ 2 2λ+ 2 −2 −λ−4
23. (Eexo277.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3 a2 = e1−2e2+ 2e3 a3 = e1+e2+e3
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3
e2 = a1−a2
e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a1, a2) parall`element `ae3
24. (Elinmat35.tex) Soitθ r´eel fix´e non congru `a 0 modulo π2 et (un)n∈
Nune suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 cosθ un+1−un
On supposeu0= 0 etu1= 1, exprimeruk pourk∈N.
25. (Eexo279.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3
a2 = e1−2e2+ 2e3
a = e +e +e
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3
e2 = a1−a2
e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a1, a3) parall`element `a e1
26. (Elinmat16.tex) Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit f lin´eaire de E dansF, soit u1,· · ·, up une famille depvecteurs deEetv1,· · ·, vpune famille depvecteurs deF tels que :
∀i∈ {1,· · ·, p}:f(ui) =vi
L’implication suivante est-elle vraie ?
(u1,· · ·, up) g´en´eratrice ⇒(v1,· · ·, vp) g´en´eratrice
27. (Elinmat11.tex) Pr´eciser selonλ, le rang de la matrice sui- vante :
0 0 0
0 0 −2λ
−2λ2+ 6λ −2λ2+ 6λ 8λ−2λ2
28. (Elinmat34.tex) Soitθr´eel fix´e non congru `a 0 modulo π2 et (un)n∈
N une suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 cosθ un+1−un
On supposeu0= 1 etu1= 0, exprimeruk pour k∈N.
29. (Eexo284.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3
a2 = e1−2e2+ 2e3
a3 = e1+e2+e3
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3
e2 = a1−a2
e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a2, a3) parall`element `a e3
30. (Elinmat14.tex) Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit f lin´eaire de E dans F, soitu1,· · · , up une famille depvecteurs deEetv1,· · ·, vpune famille depvecteurs deF tels que :
∀i∈ {1,· · · , p}:f(ui) =vi
L’implication suivante est-elle vraie ?
(v1,· · · , vp) libre ⇒(u1,· · · , up) libre
31. (Eexo276.tex) Calculer la matrice inverse de
−4 1 3
3 −1 −2
2 0 −1
32. (Elinmat27.tex) Soit B = (a, b, c, d) une base d’un espace vectorielE. On admet que
B0= (a, b+c, c+d, d+a) est aussi une base de E.
Soit x un vecteur de coordonn´ees (α, β, γ, δ) dans B0. Quelle est la premi`ere coordonn´ee dexdansB?
33. (Elinmat21.tex) SoitE unK-espace vectoriel etAun sous- espace vectoriel deE. SoitRl’application de restriction
`
a A d’un endomorphisme de E. Pr´eciser les espaces de d´epart et d’arriv´ee deR, ´ecrire avec des quantificateurs la surjectivit´e deR.
34. (Elinmat50.tex) Soitt6= 0 r´eel fix´e et (un)n∈
N une suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 cht un+1−un
On supposeu0= 0 etu1= 1, exprimeruk pourk∈N.
35. (Eexo294.tex) Soitf un endomorphisme d’unR-espace vec- toriel de dimension trois dont la matrice dans une base (a, b, c) est
0 0 0
0 −1 −1
0 1 1
Donner une base de l’image et du noyau
36. (Elinmat25.tex) On consid`ere une famille (a, b, c) de vecteurs deR3.
a= (1,−1,1), b= (1,2,3), c= (5,4,11)
Cette famille est-elle libre ou li´ee ? Si elle est li´ee, donner une relation entre ses vecteurs.
37. (Eexo299.tex) Calculer le d´eterminant de la matrice suivante
1 1 0 −1
1 0 2 −2
−1 1 −2 1
−1 2 1 0
38. (Elinmat3.tex) Soit (e1, e2, e3) une base d’unRespace vec- torielE. On d´efinit trois vecteurs
u1=e1+e2+e3
u2= 2e1+e3
u3= 2e2+e3 Former la matrice de passagePAB pour
A= (u1, u2, e3) B= (e1, e2, e3)
39. (Elinmat5.tex) Soit (e1, e2, e3) une base d’unRespace vec- torielE. On d´efinit trois vecteurs
u1=e1+e2+e3
u2= 2e1+e3
u3= 2e2+e3 Former la matrice de passagePAB pour
A= (u1, e1, e3) B= (u2, e2, u3)
40. (Elinmat13.tex) Pr´eciser le rang de la matrice suivante :
2 −10 −6
−3 −12 −18
−1 −4 −6
41. (Eexo296.tex) Calculer le d´eterminant de la matrice suivante
4 1 −4 1
4 −4 2 −2
−4 4 0 0
2 3 −4 2
42. (Elinmat39.tex) Soitθr´eel fix´e non congru `a π2 moduloπet (un)n∈
Nune suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 cosθ un+1+ (4 + 4 cos 2θ)un On supposeu0= 0 etu1= 1, exprimeruk pourk∈N.
43. (Elinmat56.tex) Soitϕ∈R. la matrice est-elle inversible ? Si oui, pr´eciser son inverse.
cosϕ 0 sinϕ
0 1 0
sinϕ 0 −cosϕ
44. (Elinmat28.tex) La famille (1,(X−1),(X −1)2,(X−1)3) est une base deR3[X]. Calculer la troisi`eme coordonn´ee dans cette base de
X3+ 7X2−13X+ 17
45. (Elinmat41.tex) Dans un R-espace de dimension 2, on se donne un rep`ere R = (O,(−→
i ,−→
j)). Les fonctions coor- donn´ees dans ce rep`ere sont not´eesxety. On consid`ere deux autres fonctionsX et Y d´efinies par
X=x+y−1 Y =x
D´eterminer un rep`ere (A,(−→u ,−→v)) tel que les fonctions coordonn´ees dans ce rep`ere soientX etY. On pr´ecisera les coordonn´ees du pointAdans le rep`ereRet les coor- donn´ees des vecteurs −→u ,−→v dans la base (−→
i ,−→ j).
46. (Elinmat30.tex) Calculer l’inverse de la matrice 6 3
−4 −1
47. (Elinmat46.tex) Dans R3 :
a= (1,−2,1) b= (2−4,5) c= (1,−2,−1)
La famille (a, b, c) est-elle libre ou li´ee ? Si elle est li´ee, pr´eciser une relation lin´eaire.
48. (Elinmat26.tex) Soit B = (a, b, c, d) une base d’un espace vectorielE. On admet que
B0 = (a, b+c, c+d, d+a) est aussi une base deE.
Soit x un vecteur de coordonn´ees (α, β, γ, δ) dans B.
Quelle est la premi`ere coordonn´ee dexdansB0? 49. (Elinmat19.tex) Soita et b deux nombres complexes fix´es.
L’application
( C→C
z→az+bz
estR-lin´eaire. Former sa matrice dans la base (1, i).
50. (Elinmat60.tex) La matrice est-elle inversible ? Si oui, pr´eciser sa matrice inverse.
1 1 0
−1 0 1
1 1 −1
51. (Eexo298.tex) Calculer le d´eterminant de la matrice suivante
−3 1 0 0
−1 −2 2 −1
−3 −2 −1 −1
−2 −3 −2 −1
52. (Elinmat54.tex) Soitϕ∈R. la matrice est-elle inversible ? Si oui, pr´eciser son inverse.
cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ
53. (Eexo274.tex) Calculer le d´eterminant de la matrice
1 1 1
−1 −2 1
2 2 1
54. (Eexo278.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3 a2 = e1−2e2+ 2e3 a3 = e1+e2+e3
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3
e2 = a1−a2
e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a1, a2) parall`element `a e1
55. (Elinmat1.tex) Soit (e1, e2, e3) une base d’unRespace vec- torielE. On d´efinit trois vecteurs
u1=e1+e2+e3
u2= 2e1+e3 u3= 2e2+e3
Former la matrice de passage PAB pour A= (e1, e2, e3) B= (u1, u2, e3)
56. (Elinmat48.tex) Dans un espace vectoriel de dimension 4,on dispose de deux bases :
B= (a, b, c, d), B0= (a, b−c, c−d, d−a) Soitxun vecteur de coordonn´ees (α0, β0, γ0, δ0) dans B0. Quelles sont les coordonn´ees de xdansB?
57. (Elinmat52.tex) Soitt6= 0 r´eel fix´e et (un)n∈N une suite de nombres r´eels v´erifiant
∀n∈N, un+2= 2 sht un+1+ (1−(cht)2)un On supposeu0= 0 etu1= 1, exprimeruk pourk∈N.
58. (Eexo61.tex) Le compl´ementaire d’un sous espace vectoriel est il un sous espace vectoriel ?
59. (Elinmat55.tex) Soitϕ∈R. la matrice est-elle inversible ? Si oui, pr´eciser son inverse.
cosϕ sinϕ sinϕ −cosϕ
60. (Elinmat20.tex) Soit a et b deux nombres complexes fix´es.
L’application (
C→C
z→(1 +i)z−2iz
estR-lin´eaire. Former sa matrice dans la base (1, i).
61. (Elinmat18.tex) Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soitf lin´eaire deEdansF. Le sous-espace Vect(f) est-il un sous-espace de E, de F, de L(E, F), de L(F, E), de E∗?
62. (Elinmat47.tex) Dans un espace vectoriel de dimension 4, on dispose de deux bases :
B= (a, b, c, d), B0 = (a, b−c, c−d, d−a) Soit x un vecteur de coordonn´ees (α, β, γ, δ) dans B.
Quelles sont les coordonn´ees dexdansB0?
63. (Eexo275.tex) Calculer la matrice inverse de
1 1 1
−1 −2 1
2 2 1
64. (Elinmat44.tex) Dans un R-espace de dimension 2, on se donne un rep`ere R = (O,(−→
i ,−→
j)). Les fonctions coor- donn´ees dans ce rep`ere sont not´ees xet y. On consid`ere un autre rep`ere (A,(−→u ,−→v)), les coordonn´ees du point A dans le rep`ere R sont (0,1), les vecteurs −→u ,−→v s’ex- priment dans la base (−→
i ,−→ j) par
−
→u =−→
j −→v =−→ i +−→
j
Exprimer les fonctions coordonn´eesX etY dans le nou- veau rep`ere avecxety
65. (Elinmat17.tex) Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit f lin´eaire de E dansF, soit u1,· · ·, up une famille depvecteurs deEetv1,· · ·, vpune famille depvecteurs deF tels que :
∀i∈ {1,· · ·, p}:f(ui) =vi L’implication suivante est-elle vraie ?
(v1,· · · , vp) g´en´eratrice ⇒(u1,· · ·, up) g´en´eratrice
66. (Eexo283.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3 a2 = e1−2e2+ 2e3
a3 = e1+e2+e3
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3
e2 = a1−a2
e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a2, a3) parall`element `a e2
67. (Elinmat57.tex) Soitϕ∈R. la matrice est-elle inversible ? Si oui, pr´eciser son inverse.
cosϕ 0 −sinϕ
0 1 0
sinϕ 0 cosϕ
68. (Eexo144.tex) SoitE unRespace vectoriel,λ∈Ret (a, b) une base deE. On poseb1=b+λa. Soitxun vecteur de coordonn´ees (α, β) dans (a, b). Pr´eciser les coordonn´ees dexdans (b1, a).
69. (Elinmat42.tex) Dans un R-espace de dimension 2, on se donne un rep`ere R = (O,(−→
i ,−→
j)). Les fonctions coor- donn´ees dans ce rep`ere sont not´eesxety. On consid`ere un autre rep`ere (A,(−→u ,−→v)), les coordonn´ees du point A dans le rep`ere R sont (1,1), les vecteurs −→u ,−→v s’ex- priment dans la base (−→
i ,−→ j) par
−
→u =−→
j −→v =−→ i −−→
j
Exprimer les fonctions coordonn´eesX etY dans le nou- veau rep`ere avecxet y
70. (Elinmat15.tex) Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit f lin´eaire de E dans F, soitu1,· · · , up une famille depvecteurs deEetv1,· · ·, vpune famille depvecteurs deF tels que :
∀i∈ {1,· · · , p}:f(ui) =vi
L’implication suivante est-elle vraie ?
(u1,· · · , up) libre ⇒(v1,· · · , vp) libre
71. (Elinmat59.tex) Soit (i, j)∈J1, nK
2aveci6=j. DansMn(R), la matriceEi,jest nulle sauf le coefficient d’indicei, jqui est ´egal `a 1. La matrice In+Ei,j est-elle inversible ? Si oui, pr´eciser sa matrice inverse.
72. (Elinmat40.tex) Soit A = (a1,· · ·, ap) une base d’un K- espace vectoriel E de dimension p ≥ 3. Soit B = (b1,· · ·, bp) une autre base deE telle que
b1=a1+a2, ∀i≥2, bi =ai
Soit x un vecteur de coordonn´ees (x1,· · · , xp) dans A.
Quelles sont les coordonn´ees de xdansB?
73. (Elinmat24.tex) Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Quelle est la dimension deL(E)×E?
74. (Elinmat33.tex) Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie respectivement p et q, soit A un sous- espace vectoriel deE de dimensiona. On admet que
U ={f ∈ L(E, F) tqA⊂kerf}
est un sous-espace vectoriel deL(E, F) et que l’applica- tion«restriction `a A»
(L(E, F)→ L(A, F) f 7→f|A
est surjective. Quelle est la dimension deU?
75. (Eexo64.tex) L’ensemble des suites convergentes de nombres r´eels est-il un sous espace vectoriel de l’espace des suites ?
76. (Eexo295.tex) Calculer le d´eterminant de la matrice suivante
1 1 −1 1
2 1 0 1
−1 2 3 1
2 3 4 −1
77. (Elinmat53.tex) Pour quelles valeurs du param`etre a le syst`eme
(3a−3)x+ (2a+ 4)y+ (a+ 5)z= 0 (a−1)x+y+az= 0 (a−1)x−ay−z= 0 admet-il une solution non nulle ?
78. (Eexo280.tex) Dans un espace vectorielE de dimension 3, on se donne deux basesA= (a1, a2, a3) etE= (e1, e2, e3) v´erifiant les relations suivantes :
a1 = e1−e2+ 2e3 a2 = e1−2e2+ 2e3 a3 = e1+e2+e3
e1 = −4a1+ 3a2+ 2a3
e2 = a1−a2
e3 = 3a1−2a2−a3
Ecrire la matrice dans´ Ade la projection sur Vect(a1, a3) parall`element `a e2
79. (Elinmat2.tex) Soit (e1, e2, e3) une base d’unRespace vec- torielE. On d´efinit trois vecteurs
u1=e1+e2+e3 u2= 2e1+e3
u3= 2e2+e3
Former la matrice de passagePAB pour A= (u1, e2, e3)
B= (u1, u2, u3)
80. (Eexo63.tex) L’ensemble des suites de nombres r´eels qui convergent vers 0 est-il un sous espace vectoriel de l’es- pace des suites ?
81. (Elinmat58.tex) SoitAetBdeux familles dans unK-espace vectoriel E. On suppose que chaque vecteur de A est combinaison lin´eaire des vecteurs deB. Les implications suivantes sont-elles vraies ?
Ag´en´eratrice ⇒ Bg´en´eratrice B g´en´eratrice ⇒ Ag´en´eratrice
Alibre ⇒ Blibre Blibre ⇒ Alibre
82. (Elinmat43.tex) Dans un R-espace de dimension 2, on se donne un rep`ere R = (O,(−→
i ,−→
j)). Les fonctions coor- donn´ees dans ce rep`ere sont not´eesxety. On consid`ere deux autres fonctionsX et Y d´efinies par
X =x+y−2 Y =x−1
D´eterminer un rep`ere (A,(−→u ,−→v)) tel que les fonctions coordonn´ees dans ce rep`ere soientX etY. On pr´ecisera les coordonn´ees du pointAdans le rep`ereRet les coor- donn´ees des vecteurs −→u ,−→v dans la base (−→
i ,−→ j).
