On rappelle que S est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel sur R des suites réelles.

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé Partie I

Soit a 6= 1 un réel xé, on considère l'ensemble S des suites réelles (w n ) n∈ N vériant :

∀n ∈ N , w n+2 = (2 − a)w n+1 + (a − 1)w n

On rappelle que S est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel sur R des suites réelles.

1. Déterminer, suivant les valeurs de a une base de S .

2. Soit w un élément de S . Suivant les valeurs de a , exprimer w n pour n ∈ N en fonction de w 0 et w 1 .

Partie II

Soit V un R espace vectoriel de dimension 3 et B = (u, v, w) une base de V . Les endo- morphismes f et g de V sont dénis par les relations suivantes :

f (u) = 0 V , f (v) = u − v, f (w) = 0 V

g(u) = 0 V , g(v) = 0 V , g(w) = u − w

On pose aussi E = {h a,b , (a, b) ∈ ( R − {1}) ² } avec, pour a et b réels diérents de 1, h _a,b déni par

h _a,b = Id _V + af + bg

1. Montrer que (E, ◦) est un sous-groupe commutatif du groupe (GL(V ), ◦) des automor- phismes de V .

2. Résoudre dans E les équations suivantes

(1) : h _a,b ◦ h _a,b = h _a,b , (2) : h _a,b ◦ h _a,b = Id _V

Partie III

On utilise les notations des parties I et II. Soit a un réel, a 6= 1 et M = h a,a . 1. Montrer que M ² est combinaison linéaire de M et Id _V .

2. Établir l'existence de deux suites réelles (α _n ) _n∈ _N et (β _n ) _n∈ _N telles que :

∀n ∈ N : M ⁿ = α _n M + β _n Id _V avec

α _n+1 = xα _n + yβ _n β _n+1 = x ⁰ α _n + y ⁰ β _n et x , y , x ⁰ , y ⁰ étant des réels à déterminer.

3. Vérier que α ∈ S . En déduire l'expression de α n puis celle de β n en fonction de n .

Partie IV

Soit A = h _2,2 . On désigne par F le sous-espace vectoriel engendré par A et Id _V . 1. (F, +, ◦) est-il un sous-anneau de (L(V ), +, ◦) ?

2. Existe-t-il dans F des éléments non nuls dont le produit ( ◦ ) soit nul ? 3. Quels sont les éléments de F dont le produit ( ◦ ) est Id _V ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aalglin8

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé Partie I

1. Le polynôme caractéristique attachée à cette relation de récurrence linéaire est X ² − (2 − a)X − (a − 1) = (X − 1)(X − a + 1)

Lorsque a 6= 0 , les deux racines sont distinctes, une base de S est formée par (1) _n∈N , ((1 − a) ⁿ ) _n∈N

Lorsque a = 0 , une base est formée par

(1) _n∈N , (n) _n∈N

2. Lorsque a 6= 0 , il existe des nombres α et β tels que pour tous les entiers n : w n = α + β (1 − a) ⁿ

On résoud le système aux inconnues α et β formé en prenant n = 0 et n = 1 . On en déduit que pour tout entier n :

w n = w 0 − w 1

a (1 − a) ⁿ + w 1 − (1 − a)w 0

a On raisonne de même dans le cas a = 0 et on obtient

w n = w 0 + (w 1 − w 0 )n

Partie II

1. Pour montrer que (E, ◦) est un sous-groupe du groupe des automorphismes de V , trois points sont à vérier : la commutativité de la composition, la stabilité de la composition, la bijectivité d'un élément de E et le fait que sa bijection réciproque soit aussi dans E .

On commence par calculer f ◦ f , f ◦ g , g ◦ f , g ◦ g en considérant les images de vecteurs de base. On obtient :

f ◦ f(u) = 0 E , f ◦ f (v) = −f (v) = v − u, f ◦ f (w) = 0 E

f ◦ g(u) = 0 _E , f ◦ g(v) = 0 _E , f ◦ g(w) = f (u) − f (w) = 0 _E g ◦ f(u) = 0 E , g ◦ f (v) = g(u) − g(v) = 0 E , g ◦ f (w) = 0 E

g ◦ g(u) = 0 E , g ◦ g(v) = 0 E , g ◦ g(w) = −g(w) = −u + w

On en déduit (unicité du prolongement linéaire)

f ◦ f = −f, f ◦ g = g ◦ f = 0 _E , g ◦ g = −g puis

h _a,b ◦ h _a

⁰

_,b

⁰

= (Id _V + af + bg) ◦ (Id _V + a ⁰ f + b ⁰ g)

= Id V + (a + a ⁰ − aa ⁰ )f + (b + b ⁰ − bb ⁰ )g = h a+a

⁰

−aa

⁰

,b+b

⁰

−bb

⁰

∈ E à condition que a + a ⁰ − aa ⁰ 6= 1 et b + b ⁰ − bb ⁰ 6= 1 . Ceci est réalisé car

a + a ⁰ − aa ⁰ − 1 = (a − 1)(1 − a ⁰ ), b + b ⁰ − bb ⁰ − 1 = (b − 1)(1 − b ⁰ )

avec a, a ⁰ , b, b ⁰ diérents de 1 . On a donc montré la stabilité de E et la commutativité de la composition.

En ce qui concerne la bijectivité : remarquons d'abord que Id V = h 0,0 . On en tire

h a,b ◦ h a

⁰

,b

⁰

= Id V ⇔

( a + a ⁰ − aa ⁰ = 0 b + b ⁰ − bb ⁰ = 0 ⇔



 

 

a ⁰ = a a − 1 b ⁰ = b

b − 1 On en conclut que h a,b est bijectif de bijection réciproque

h ⁻¹ _a,b = h

a

a−1

,

_b−1^b

∈ E car a

a − 1 6= 1 et b b − 1 6= 1 2. L'équation (1) est équivalente au système

( a + a(1 − a) = a b + b(1 − b) = b ⇔

( a(1 − a) = 0 b(1 − b) = 0 La solution dans E est donc

h 0,0 = Id V

3. L'équation (2) est équivalente au système

( a(2 − a) = 0 b(2 − b) = 0

qui admet quatre couples solutions. Les solutions dans E sont h _0,0 = Id _V , h _0,2 , h _2,0 , h _2,2

2

(3)

MPSI B 29 juin 2019

Partie III

1. D'après l'expression du produit dans E obtenue en II.1.

M = Id _V + a(f + g) ⇒ M ² = Id _V + a(2 − a)(f + g) d'où

(2 − a)M = (2 − a)Id V + a(2 − a)(f + g) = (2 − a)Id V + M ² − Id V

⇒ M ² = (a − 1)Id V + (2 − a)M 2. Supposons que M ⁿ = α _n M + β _n Id _V pour un certain entier n . Alors

M ⁿ⁺¹ = α n M ² + β n M = (β − n + (2 − a)α n )M + (a − 1)α n Id V

Ceci prouve l'existence des deux suites, elles sont dénies par récurrence par les for- mules

α _n+1 = β _n + (2 − a)α _n β _n+1 = (a − 1)α _n et les conditions initiales

α 0 = 0, β 0 = 1 α 1 = 1, β 1 = 0 3. D'après les relations de récurrence de la question précédente,

α n+2 = β n+1 + (2 − a)α n+1 = (a − 1)α n + (2 − a)α n+1

donc (α _n ) _n∈ _N ∈ S . D'après la partie I, on obtient Si a 6= 0 :

α n = − 1

a (1 − a) ⁿ + 1

a , β n = − 1

a (1 − a) ⁿ + a − 1 a , M ⁿ = 1 − (1 − a) ⁿ

a M + (1 − a) ⁿ + a − 1 a Id V

Si a = 0 :

α n = n, β n = 1 − n, M ⁿ = nM − (n − 1) Id V

Partie IV

1. F est clairement stable pour l'addition, comme h ² _2,2 = Id _V il est stable pour ◦ de plus il contient Id V . C'est donc un sous-anneau.

2. Il existe des éléments non nuls dont le produit est nul. Par exemple (Id V − h 2,2 ) ◦ (Id V + h 2,2 )

3. L'équation

(λ Id _V +µh _2,2 ) ◦ (λ ⁰ Id _V +µ ⁰ h _2,2 ) = Id _V se traduit par le système aux inconnues λ ⁰ et µ ⁰

( λλ ⁰ + µµ ⁰ = 1 µλ ⁰ + λµ ⁰ = 0

que l'on résoud par les formules de Cramer. On trouve, pour λ 6= µ : 1

λ ² − µ ² (λ Id _V −µh 2,2 ) ◦ (λ Id _V +µh _2,2 ) = Id _V

Les éléments inversibles du sous-anneau F sont donc les λ Id _V +µh _2,2 avec |λ| 6= |µ| .

3

On rappelle que S est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel sur R des suites réelles.

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Énoncé Partie I

Soit a 6= 1 un réel xé, on considère l'ensemble S des suites réelles (w n ) n∈ N vériant :

∀n ∈ N , w n+2 = (2 − a)w n+1 + (a − 1)w n

On rappelle que S est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel sur R des suites réelles.

1. Déterminer, suivant les valeurs de a une base de S .

2. Soit w un élément de S . Suivant les valeurs de a , exprimer w n pour n ∈ N en fonction de w 0 et w 1 .

Partie II

Soit V un R espace vectoriel de dimension 3 et B = (u, v, w) une base de V . Les endo- morphismes f et g de V sont dénis par les relations suivantes :

f (u) = 0 V , f (v) = u − v, f (w) = 0 V

g(u) = 0 V , g(v) = 0 V , g(w) = u − w

On pose aussi E = {h a,b , (a, b) ∈ ( R − {1}) 2 } avec, pour a et b réels diérents de 1, h a,b déni par

h a,b = Id V + af + bg

1. Montrer que (E, ◦) est un sous-groupe commutatif du groupe (GL(V ), ◦) des automor- phismes de V .

2. Résoudre dans E les équations suivantes

(1) : h a,b ◦ h a,b = h a,b , (2) : h a,b ◦ h a,b = Id V

Partie III

On utilise les notations des parties I et II. Soit a un réel, a 6= 1 et M = h a,a . 1. Montrer que M 2 est combinaison linéaire de M et Id V .

2. Établir l'existence de deux suites réelles (α n ) n∈ N et (β n ) n∈ N telles que :

∀n ∈ N : M n = α n M + β n Id V avec

α n+1 = xα n + yβ n β n+1 = x 0 α n + y 0 β n et x , y , x 0 , y 0 étant des réels à déterminer.

3. Vérier que α ∈ S . En déduire l'expression de α n puis celle de β n en fonction de n .

Partie IV

Soit A = h 2,2 . On désigne par F le sous-espace vectoriel engendré par A et Id V . 1. (F, +, ◦) est-il un sous-anneau de (L(V ), +, ◦) ?

2. Existe-t-il dans F des éléments non nuls dont le produit ( ◦ ) soit nul ? 3. Quels sont les éléments de F dont le produit ( ◦ ) est Id V ?

1

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Corrigé Partie I

1. Le polynôme caractéristique attachée à cette relation de récurrence linéaire est X 2 − (2 − a)X − (a − 1) = (X − 1)(X − a + 1)

Lorsque a 6= 0 , les deux racines sont distinctes, une base de S est formée par (1) n∈N , ((1 − a) n ) n∈N

Lorsque a = 0 , une base est formée par

(1) n∈N , (n) n∈N

2. Lorsque a 6= 0 , il existe des nombres α et β tels que pour tous les entiers n : w n = α + β (1 − a) n

On résoud le système aux inconnues α et β formé en prenant n = 0 et n = 1 . On en déduit que pour tout entier n :

w n = w 0 − w 1

a (1 − a) n + w 1 − (1 − a)w 0

a On raisonne de même dans le cas a = 0 et on obtient

w n = w 0 + (w 1 − w 0 )n

Partie II

1. Pour montrer que (E, ◦) est un sous-groupe du groupe des automorphismes de V , trois points sont à vérier : la commutativité de la composition, la stabilité de la composition, la bijectivité d'un élément de E et le fait que sa bijection réciproque soit aussi dans E .

On commence par calculer f ◦ f , f ◦ g , g ◦ f , g ◦ g en considérant les images de vecteurs de base. On obtient :

f ◦ f(u) = 0 E , f ◦ f (v) = −f (v) = v − u, f ◦ f (w) = 0 E

f ◦ g(u) = 0 E , f ◦ g(v) = 0 E , f ◦ g(w) = f (u) − f (w) = 0 E g ◦ f(u) = 0 E , g ◦ f (v) = g(u) − g(v) = 0 E , g ◦ f (w) = 0 E

g ◦ g(u) = 0 E , g ◦ g(v) = 0 E , g ◦ g(w) = −g(w) = −u + w

On en déduit (unicité du prolongement linéaire)

f ◦ f = −f, f ◦ g = g ◦ f = 0 E , g ◦ g = −g puis

h a,b ◦ h a

,b

= (Id V + af + bg) ◦ (Id V + a 0 f + b 0 g)

= Id V + (a + a 0 − aa 0 )f + (b + b 0 − bb 0 )g = h a+a

−aa

,b+b

−bb

∈ E à condition que a + a 0 − aa 0 6= 1 et b + b 0 − bb 0 6= 1 . Ceci est réalisé car

a + a 0 − aa 0 − 1 = (a − 1)(1 − a 0 ), b + b 0 − bb 0 − 1 = (b − 1)(1 − b 0 )

avec a, a 0 , b, b 0 diérents de 1 . On a donc montré la stabilité de E et la commutativité de la composition.

En ce qui concerne la bijectivité : remarquons d'abord que Id V = h 0,0 . On en tire

h a,b ◦ h a

,b

= Id V ⇔

( a + a 0 − aa 0 = 0 b + b 0 − bb 0 = 0 ⇔



 

 

a 0 = a a − 1 b 0 = b

b − 1 On en conclut que h a,b est bijectif de bijection réciproque

h −1 a,b = h

,

∈ E car a

a − 1 6= 1 et b b − 1 6= 1 2. L'équation (1) est équivalente au système

( a + a(1 − a) = a b + b(1 − b) = b ⇔

( a(1 − a) = 0 b(1 − b) = 0 La solution dans E est donc

h 0,0 = Id V

3. L'équation (2) est équivalente au système

( a(2 − a) = 0 b(2 − b) = 0

qui admet quatre couples solutions. Les solutions dans E sont h 0,0 = Id V , h 0,2 , h 2,0 , h 2,2

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Partie III

On pose aussi E = {h a,b , (a, b) ∈ ( R − {1}) ² } avec, pour a et b réels diérents de 1, h _a,b déni par

h _a,b = Id _V + af + bg

(1) : h _a,b ◦ h _a,b = h _a,b , (2) : h _a,b ◦ h _a,b = Id _V

On utilise les notations des parties I et II. Soit a un réel, a 6= 1 et M = h a,a . 1. Montrer que M ² est combinaison linéaire de M et Id _V .

2. Établir l'existence de deux suites réelles (α _n ) _n∈ _N et (β _n ) _n∈ _N telles que :

∀n ∈ N : M ⁿ = α _n M + β _n Id _V avec

α _n+1 = xα _n + yβ _n β _n+1 = x ⁰ α _n + y ⁰ β _n et x , y , x ⁰ , y ⁰ étant des réels à déterminer.

Soit A = h _2,2 . On désigne par F le sous-espace vectoriel engendré par A et Id _V . 1. (F, +, ◦) est-il un sous-anneau de (L(V ), +, ◦) ?

2. Existe-t-il dans F des éléments non nuls dont le produit ( ◦ ) soit nul ? 3. Quels sont les éléments de F dont le produit ( ◦ ) est Id _V ?

1. Le polynôme caractéristique attachée à cette relation de récurrence linéaire est X ² − (2 − a)X − (a − 1) = (X − 1)(X − a + 1)

Lorsque a 6= 0 , les deux racines sont distinctes, une base de S est formée par (1) _n∈N , ((1 − a) ⁿ ) _n∈N

(1) _n∈N , (n) _n∈N

2. Lorsque a 6= 0 , il existe des nombres α et β tels que pour tous les entiers n : w n = α + β (1 − a) ⁿ

a (1 − a) ⁿ + w 1 − (1 − a)w 0

f ◦ g(u) = 0 _E , f ◦ g(v) = 0 _E , f ◦ g(w) = f (u) − f (w) = 0 _E g ◦ f(u) = 0 E , g ◦ f (v) = g(u) − g(v) = 0 E , g ◦ f (w) = 0 E

f ◦ f = −f, f ◦ g = g ◦ f = 0 _E , g ◦ g = −g puis

h _a,b ◦ h _a

_,b

= (Id _V + af + bg) ◦ (Id _V + a ⁰ f + b ⁰ g)

= Id V + (a + a ⁰ − aa ⁰ )f + (b + b ⁰ − bb ⁰ )g = h a+a

∈ E à condition que a + a ⁰ − aa ⁰ 6= 1 et b + b ⁰ − bb ⁰ 6= 1 . Ceci est réalisé car

a + a ⁰ − aa ⁰ − 1 = (a − 1)(1 − a ⁰ ), b + b ⁰ − bb ⁰ − 1 = (b − 1)(1 − b ⁰ )

avec a, a ⁰ , b, b ⁰ diérents de 1 . On a donc montré la stabilité de E et la commutativité de la composition.

( a + a ⁰ − aa ⁰ = 0 b + b ⁰ − bb ⁰ = 0 ⇔

a ⁰ = a a − 1 b ⁰ = b

h ⁻¹ _a,b = h

qui admet quatre couples solutions. Les solutions dans E sont h _0,0 = Id _V , h _0,2 , h _2,0 , h _2,2

M = Id _V + a(f + g) ⇒ M ² = Id _V + a(2 − a)(f + g) d'où

(2 − a)M = (2 − a)Id V + a(2 − a)(f + g) = (2 − a)Id V + M ² − Id V

⇒ M ² = (a − 1)Id V + (2 − a)M 2. Supposons que M ⁿ = α _n M + β _n Id _V pour un certain entier n . Alors

M ⁿ⁺¹ = α n M ² + β n M = (β − n + (2 − a)α n )M + (a − 1)α n Id V

α _n+1 = β _n + (2 − a)α _n β _n+1 = (a − 1)α _n et les conditions initiales

donc (α _n ) _n∈ _N ∈ S . D'après la partie I, on obtient Si a 6= 0 :

a (1 − a) ⁿ + 1

a (1 − a) ⁿ + a − 1 a , M ⁿ = 1 − (1 − a) ⁿ

a M + (1 − a) ⁿ + a − 1 a Id V

α n = n, β n = 1 − n, M ⁿ = nM − (n − 1) Id V

1. F est clairement stable pour l'addition, comme h ² _2,2 = Id _V il est stable pour ◦ de plus il contient Id V . C'est donc un sous-anneau.

(λ Id _V +µh _2,2 ) ◦ (λ ⁰ Id _V +µ ⁰ h _2,2 ) = Id _V se traduit par le système aux inconnues λ ⁰ et µ ⁰

( λλ ⁰ + µµ ⁰ = 1 µλ ⁰ + λµ ⁰ = 0

λ ² − µ ² (λ Id _V −µh 2,2 ) ◦ (λ Id _V +µh _2,2 ) = Id _V

Les éléments inversibles du sous-anneau F sont donc les λ Id _V +µh _2,2 avec |λ| 6= |µ| .