Soit le \ − espace vectoriel E = \

Soit le \ − espace vectoriel E = \

₃^{⎡ ⎤}_{⎣ ⎦}

X .

Pour tout entier naturel i dans { 0 ;1; 2 ; 3 } , on définit la forme linéaire :

1

( )

1

:

ⁱ

f P

i

t P t dt

−

∫

6

1. Montrer que ( ^f

₀

^{, f}

₁

^{, f}

₂

^{, f}

₃

) est une base de E .

^*

2. Déterminer la base préduale de ( f

0

, f

1

, f

2

, f

3

) .

Analyse

Un exercice de dualité simple (mais … un peu calculatoire !) pour s’entraîner à la maîtrise des notations du cours et à la mise en œuvre des concepts.

Résolution

Question 1.

L’espace vectoriel E* étant de dimension 4, il nous suffit, pour démontrer que la famille

(

f0, f1, f2, f3

)

est une base, d’établir qu’elle est libre.

Soit a₀, a₁, a₂ et a₃ quatre réels tels que : a f_{0 0}+a f_{1 1}+a f_{2 2}+a f_{3 3}=0 * (où 0 * désigne la forme linéaire nulle). On a alors les équivalences :

[ ] ( )( )

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 1 1 2 2 3 3

0 0 1 1 2 2 3

0 0 1 1 2 2 3 3

0 *

P X , P 0

P X , P P P P 0

a f a f a f a f a f a f a f a f

a f a f a f a f

+ + + =

⇔ ∀ ∈ + + + =

⇔ ∀ ∈ + + + =

\

\

Posons ^{P X}

( )

^{= +α βX+γX2+δX3.}

Remarquons que l’intégrale sur l’intervalle

[

^{−1 ; 1}

]

^:

• d’une fonction qui y est définie et impaire est nulle.

• D’une fonction qui y est définie et paire est égale à 2 fois son intégrale sur l’intervalle

On a alors :

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 0

1 1

2 3

1

1 1 1

2 2 3

1 0 0

P P

2 2

3

2 3

f t dt

t t t dt

t dt t dt t t

α β γ δ

α γ α γ α γ

α γ

−

−

−

=

= + + +

⎡ ⎤

= + = + = ⎢⎣ + ⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1

1 1

2 3 4

1

1 1 1

2 4 2 4 3

1 0 0

P P

2 2

3 5

2 3 5

f t t dt

t t t t dt

t t dt t t dt t t

α β γ δ

β δ

β δ β δ

β δ

−

−

−

=

= + + +

⎡ ⎤

= + = + = ⎢⎣ + ⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 2 2

1 1

2 3 4 5

1

1 1 1

2 4 2 4 3

1 0 0

P P

2 2

3 5

2 3 5

f t t dt

t t t t dt

t t dt t t dt t t

α β γ δ

α γ

α γ α γ

α γ

−

−

−

=

= + + +

⎡ ⎤

= + = + = ⎢⎣ + ⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 3 3

1 1

3 4 5 6

1

1 1 1

4 6 4 6 3

1 0 0

P P

2 2

5 7

2

f t t dt

t t t t dt

t t dt t t dt t t

α β γ δ

β δ

β δ β δ

β δ

−

−

−

=

= + + +

⎡ ⎤

= + = + = ⎢⎣ + ⎥⎦

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟

∫

∫

∫ ∫

D’où :

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

0 0 1 1 2 2 3 3

0 0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 3

3 0 3

2 1 2 1

0

2 0

1

0 *

P X , P P P P 0

P X , 2 2 2 2 0

3 3 5 3 5 5 7

P X , 0

3 3 5 3 5 5 7

3 0

3

a f a f a f a f

a f a f a f a f

a a a a

a a a

a a a a

a

a a a

γ β δ α γ β δ

α

α β γ δ

+ + + =

⇔ ∀ ∈ + + + =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇔ ∀ ∈ ⎜⎝ + ⎟⎠ + ⎜⎝ + ⎟⎠ + ⎜⎝ + ⎟⎠ + ⎜⎝ + ⎟⎠ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

⇔ ∀ ∈ ⎜⎝ + ⎟⎠ +⎜⎝ + ⎟⎠ +⎜⎝ + ⎟⎠ +⎜⎝ + ⎟⎠ =

+ =

⇔

\

\

\

( ) ( ) ( ) ( )

3

0 2

3 1

0 2

0 2

1 3

1 3

5 0 3 5 0 5 7 0

3 0 1

5 3 0 2

5 3 0 3

7 5 0 4

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

⎧⎪

⎪⎪ + =

⎪⎨

⎪ + =

⎪⎪

⎪ + =

⎩ + =

⎧⎪ + =

⇔ ⎨⎪⎪ + =

⎪ + =

⎩

Les équations (1) et (2), d’une part, (3) et (4), d’autre part, correspondent à des systèmes de Cramer de déterminant non nul (ils valent tous deux 4).

On en déduit immédiatement : a₀ = =a₁ a₂ =a₃=0. La famille

(

f0, f1, f2, f3

)

est donc une famille libre de E*. C’est une base de cet espace.

La famille

(

f0, f1, f2, f3

)

est une base de E*.

Question 2.

Dans cette question, nous cherchons un quadruplet

(

P , P , P , P de polynômes de E tels que 0 1 2 3

)

pour tout entiers i et j dans

{

0 ; 1 ; 2 ; 3

}

on ait : fi

( )

^Pj =δij. Posons P X0

( )

=a0+b0X+c0X²+d0X³.

D’après la question précédente, on a immédiatement :

( )

⁰

0 P0 2 0

3

f = ⎛⎜⎝a +c ⎞⎟⎠, 1

( )

P0 2 ^{0 0}

3 5

b d

f = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠, 2

( )

P0 2 ^{0 0}

3 5

a c

f = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ et 3

( )

P0 2 ^{0 0}

5 7

b d

f = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠

On a alors :

{ } ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

2 1 1

3

2 0 2

3 5

0 ; 1 ; 2 ; 3 , P

2 0 3

3 5

2 0 4

5 7

i i

a c

b d

i f

a c

b d

δ

⎧ ⎛⎜ + ⎞⎟=

⎪ ⎝ ⎠

⎪⎪ ⎛ + ⎞=

⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

∀ ∈ = ⇔ ⎨

⎛ ⎞

⎪ ⎜ + ⎟=

⎪ ⎝ ⎠

⎪ ⎛ ⎞

⎪ ⎜ + ⎟=

⎪ ⎝ ⎠

⎩

Les équations (2) et (4) donnent immédiatement : b₀ =d₀=0. Les équations (1) et (3) donnent le système :

0 0

0 0

6 2 3

5 3 0

a c

a c

+ =

⎧⎨ + =

⎩

Le déterminant associé d vaut : 6 2

6 3 2 5 18 10 8 5 3

d = = × − × = − = . Il vient alors :

0

3 2

1 3 3 2 0 9

0 3

8 8 8

a = = × − × = et ₀ 1 6 3 6 0 3 5 15 5 0

8 8 8

c = = × − × = −

Finalement :

( )

²

(

²

)

0

9 15 3

P X X 3 5X

8 8 8

= − = −

En procédant de façon similaire, on obtient :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 2

1

2

3 2

3

75 105 15

P X X X X 5 7X

8 8 8

15 45 15

P X X 1 3X

8 8 8

105 175 35

P X X X X 3 5X

8 8 8

= − = −

= − + = − +

= − + = − +

Résultat final

La base antéduale de

(

f0, f1, f2, f3

)

est la base

(

P , P , P , P définie par : 0 1 2 3

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

0

3 2

1

2

3 2

3

9 15 3

P X X 3 5X

8 8 8

75 105 15

P X X X X 5 7X

8 8 8

15 45 15

P X X 1 3X

8 8 8

105 175 35

P X X X X 3 5X

8 8 8

= − = −

= − = −

= − + = − +

= − + = − +