MPSI B Année 2006-2007 : DS 8 29 juin 2019
Exercice I.
Dans cet exercice, E est un R-espace vectoriel de dimension 3, f un endomorphisme de E tel que :
f 3 = O L(E) 1. Cas f = O L(E) .
Quelle est la matrice de f dans une base U quelconque de E ? 2. Cas f 6= O L(E) , f 2 = O L(E) .
a. Montrer que le noyau de f est de dimension 2.
b. Montrer qu'il existe une base U de E telle que Mat U f =
0 0 0 0 0 1 0 0 0
3. Cas f 2 6= O L(E) .
Montrer qu'il existe une base U de E telle que Mat U f =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
Exercice II.
Soit E = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base d'un R-espace vectoriel E . On dénit trois vecteurs a 1 , a 2 , a 3 de E par :
a 1 = e 1 + e 2 + e 3
a 2 = e 1 + e 3
a 3 = −e 1 + e 2 + 2e 3 1. Montrer que
A = (a 1 , a 2 , a 3 ), A 1 = (e 1 , a 2 , a 3 ), A 2 = (a 1 , e 2 , a 3 ) sont des bases. Préciser les matrices de passage
P AE , P A
1E , P A
2E
2. On note p 1 le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 ) parallèlement à Vect(e 1 ) . Calculer : Mat
E p 1 , Mat
A p 1 , Mat
EA p 1 , Mat
AE p 1
3. On note p 2 le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 ) parallèlement à Vect(a 1 ) . Calculer : Mat
E p 2 , Mat
A p 2 , Mat
EA p 2 , Mat
AE p 2
Exercice III.
Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie, U et V deux bases de E , la matrice de changement de base de U vers V est notée P .
Soit f un endomorphisme de E , exprimer Mat
VU f en fonction de P et de Mat
U V f .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
