MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 et E = (e
1, e
2, e
3, e
4) une base de E . Soit f l'endomorphisme de E tel que
A = Mat
E
(f ) =
1 −1 2 −2 0 0 1 −1 1 −1 1 0 1 −1 1 0
1. Soit λ ∈ R. Calculer det(f − λ Id
E) sous forme factorisée.
2. Calculer les rangs des matrices A , A
2, A − I
4, (A − I
4)
2.
3. a. Montrer qu'il existe une base A = (a
1, a
2, a
3, a
4) de E telle que
Mat
A(f ) =
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
b. En précisant les coordonnées dans E , calculer une base vériant la condition pré- cédente.
Corrigé
1. Après calculs, on trouve det(f − λ Id
E) = λ
2(λ − 1)
2. 2. Après calculs, on trouve
rg A = 3, rg A
2= 2, rg(A − I
4) = 3, rg(A − I
4)
2= 2
3. a. De la question 2., on tire les dimensions des noyaux par le théorème du rang dim(ker f ) = 1, dim(ker f
2) = 2, dim(ker(f − Id
E)) = 1, dim(ker(f − Id
E)
2) = 2 Soit a
1un vecteur non nul de ker f et a
3un vecteur non nul de ker(f − Id
E) . On a bien alors f (a
1) = 0
Eet f (a
3) = a
3.
Soit x un vecteur du plan ker f
2qui n'est pas dans la droite ker f . Alors f (x) ∈ ker f = Vect a
1. Il existe donc λ 6= 0 tel que f (x) = a
1. Posons a
2=
λ1x , on a bien alors f (a
2) = a
1.
Soit y un vecteur du plan ker(f − Id
E)
2qui n'est pas dans la droite ker(f − Id
E) . Alors f(y) − y ∈ ker(f − Id
E) = Vect(a
3) . Il existe donc un µ 6= 0 tel que f (y) − y = µa
3. Posons a
4=
µ1y , on a bien f (a
4) = a
4+ a
3.
Il reste à vérier que la famille (a
1, a
2, a
3, a
4) est une base. Il sut de vérier qu'elle est libre. Soit λ
1, λ
2, λ
3, λ
4tel que λ
1a
1+ λ
2a
2+ λ
3a
3+ λ
4a
4= 0
E. En composant deux fois par f , on tire
λ
1a
2+ λ
3a
3+ (λ
3+ λ
4)a
4= 0
Eλ
3a
3+ (2λ
3+ λ
4)a
4= 0
E)
⇒ λ
1a
2− λ
3a
4= 0
EEn composant encore par f , on obtient λ
3a
4= 0
Ed'où λ
3= 0 puis λ
1= 0 puis λ
4= 0 (avec la deuxième équation de l'accolade) et enn λ
2= 0 avec la première relation.
b. Calcul de a
1. On résoud le système
x − y + 2z − 2t = 0 z − t = 0 x − y + z = 0 x − y + z = 0
⇔
x − y + z = 0 z − 2t = 0 z − t = 0
⇔
x − y = 0 z = 0 t = 0 On choisit a
1= e
1+ e
2.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Aalglin24MPSI B 29 juin 2019
Calcul de a
2. On résoud le système
x − y + 2z − 2t = 1 z − t = 1 x − y + z = 0 x − y + z = 0
⇔
x − y + z = 0 z − 2t = 1 z − t = 1
⇔
x − y = −1 z = 1
t = 0
On choisit a
2= e
2+ e
3.
Calcul de a
3. On résoud le système
−y + 2z − 2t = 0
−y + z − t = 0 x − y = 0 x − y + z − t = 0
⇔
x − y = 0
−y + 2z − 2t = 0
−y + z − t = 0 z − t = 0
⇔
x − y = 0
−y + z − t = 0 z − t = 0
On choisit a
3= e
3+ e
4.
Calcul de a
4. On résoud le système
−y + 2z − 2t = 0
−y + z − t = 0 x − y = 1 x − y + z − t = 1
⇔
x − y = 1
−y + 2z − 2t = 0
−y + z − t = 0 z − t = 0
⇔
x − y = 1
−y + z − t = 0 z − t = 0 On choisit a
4= e
1.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
