Notons E le R-espace vectoriel R

(1)

MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 15 pour le 31/03/14 29 juin 2019

Exercice 1

Notons E le R-espace vectoriel R

⁴

muni de la base canonique C = (e

₁

, e

₂

, e

₃

, e

₄

) . Pour tout réel α , on considère l'endomorphisme f de E déni par

Mat

C

f = A =







1 1 0 0 2 1 1 1 0 0 0 α

α α 0 0







1. a. Déterminer, en discutant sur α , le rang de f .

b. Expliciter dans les diérents cas, une base de l'image et une base du noyau de f . c. Déterminer les α pour lesquels Im(f ) et ker(f ) sont supplémentaires.

Dans la suite, on suppose que α 6= 0 et λ est un nombre réel. On pose

ε

1

= λe

1

+ αe

4

, ε

2

= e

2

, ε

3

= e

3

, B = (ε

1

, ε

2

, ε

3

), F = Im(f ) 2. Déterminer λ pour que B soit une base de F .

Dans la suite on supposera λ ainsi xé. Soit g la restriction de f à F .

3. Montrer que g est un endomorphisme de F , écrire la matrice B de g dans la base B . 4. Montrer que g est inversible et écrire la matrice de g

⁻¹

dans la base B .

5. Soit h l'endomorphisme de E vériant

( ∀i ∈ {1, 2, 3}, h(ε

i

) = g

⁻¹

(ε

i

) h et f ont le même noyau

a. Montrer que ces conditions dénissent bien h . Écrire la matrice D de h dans C . b. Déterminer le produit ADA .

Exercice 2

Soit E = (e

₁

, e

₂

, e

₃

) une base d'un R-espace vectoriel E . On dénit trois vecteurs a

₁

, a

₂

, a

₃

de E par :



 

 

a

₁

= e

₁

+ e

₂

+ e

₃

a

2

= e

1

+ e

3

a

3

= −e

1

+ e

2

+ 2e

3

1. Montrer que

A = (a

1

, a

2

, a

3

), A

1

= (e

1

, a

2

, a

3

), A

2

= (a

1

, e

2

, a

3

) sont des bases. Préciser les matrices de passage

P

_AE

, P

_A₁_E

, P

_A₂_E

2. On note p

1

le projecteur sur Vect(e

2

, e

3

) parallèlement à Vect(e

1

) . Calculer : Mat

E

p

1

, Mat

A

p

1

, Mat

EA

p

1

, Mat

AE

p

1

3. On note p

2

le projecteur sur Vect(e

2

, e

3

) parallèlement à Vect(a

1

) . Calculer : Mat

E

p

2

, Mat

A

p

2

, Mat

EA

p

2

, Mat

AE

p

2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1315E