MPSI B DS 9 29 juin 2019

(1)

MPSI B DS 9 29 juin 2019

Exercice 1

Soit a , b , c , m , n , p des nombres réels. On suppose c non nul.

1. Discuter et résoudre le système







bz − cy = 1 cx − az = m

ay − bx = n 2. Soit A et C les matrices suivantes :

A =







0 −c b a

c 0 −a b

−b a 0 c

a b c 0







, C =





 1 m

n p







Calculer ^t AA puis résoudre le système AX = C d'inconnue

X =





 x y z t







3. Exprimer les solutions du système de la question 1. à l'aide de la question 2. en consi- dérant p comme un paramètre. On posera

p = α ² µ, α = p

a ² + b ² + c ²

Exercice 2

Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.

Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 2)

!

n∈ N

Exercice 3

On note E l'espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Lorsque P ∈ E et t ∈ R, on désigne par P(t) (au lieu de P e (t) ) la valeur en t de la fonction réelle associée à P .

Si vous utilisez des polynômes d'interpolation, il convient de les dénir soigneusement.

1. À tout réel ξ on associe la forme linéaire f ξ dénie par :

∀P ∈ E : f _ξ (P) = P (ξ)

Montrer que les formes linéaires f a , f b , f c , f d sont indépendantes si et seulement si les quatre réels a , b , c , d sont distincts.

2. Montrer l'existence d'une unique famille de nombres réels (x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0 P(t)dt = x 0 P(0) + x 1 P(1) + x 2 P (2) + x 3 P (3) Calculer x 0 , x 1 , x 2 , x 3 .

3. Montrer l'existence d'une unique famille de nombres réels (A, B, a, b) (à déterminer numériquement) telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0 P(t)dt = AP (a) + BP (b).

On pourra utiliser un système linéaire de 4 équations à deux inconnues.

4. Montrer l'existence d'une famille de nombres complexes (u, v, w) unique à permutation près et telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0 P(t)dt = 1

3 (P (u) + P (v) + P(w)) Préciser le polynôme dont u, v, w sont les racines.

Exercice 4

Pour tout entier n ≥ 0 , on dénit

I n = Z 1

0 (1 + t) ⁿ 1 + t ² dt

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0709E

(2)

MPSI B DS 9 29 juin 2019

1. Calculer I 0 et I 1 .

2. Etablir l'existence d'un polynôme P n et de réels a n et b n tels que (1 + t) ⁿ

1 + t ² = P _n (t) + a _n + b _n t 1 + t ²

Montrer que a n et b n vérient la même relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coecients constants. Les exprimer au moyen de 2

ⁿ²

, cos(n ^π ₄ ) , sin(n ^π ₄ ) .

3. Montrer que I n peut s'écrire sous la forme p n + q n ln 2 + r n π où (p n ) n∈ N , (q n ) n∈ N , (r n ) n∈ N sont trois suites de nombres rationnels. Pour quelles valeurs de l'entier n a-t- on q _n = 0 .

4. Calculer

I _n+2 − 2I _n+1 + 2I _n q n+2 − 2q n+1 + 2q n

r _n+2 − 2r _n+1 + 2r _n

et établir une récurrence entre les p n . Que vaut p 5 ? (on mettra le résultat sous la forme d'une fraction irréductible)

5. En intégrant par parties, trouver des constantes A et B telles que

I n = 2 ⁿ

n (A + B n + ◦( 1

n ))

Exercice 5

Notons E le R-espace vectoriel R ⁴ muni de la base canonique C = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Pour tout réel α , on considère l'endomorphisme f de E déni par

Mat C f = A =







1 1 0 0 2 1 1 1

0 0 0 α

α α 0 0







1. a. Déterminer, en discutant sur α , le rang de f .

b. Expliciter dans les diérents cas, une base de l'image et une base du noyau de f . c. Déterminer les α pour lesquels Im(f ) et ker(f ) sont supplémentaires.

Dans la suite, on suppose que α 6= 0 et λ est un nombre réel. On pose

ε 1 = λe 1 + αe 4 , ε 2 = e 2 , ε 3 = e 3 , B = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ), F = Im(f ) 2. Déterminer λ pour que B soit une base de F .

Dans la suite on supposera λ ainsi xé. Soit g la restriction de f à F .

3. Montrer que g est un endomorphisme de F , écrire la matrice B de g dans la base B . 4. Montrer que g est inversible et écrire la matrice de g ⁻¹ dans la base B .

5. Soit h l'endomorphisme de E vériant

( ∀i ∈ {1, 2, 3}, h(ε i ) = g ⁻¹ (ε i ) h et f ont le même noyau

a. Montrer que ces conditions dénissent bien h . Écrire la matrice D de h dans C . b. Déterminer le produit ADA .

Exercice 6

Cet exercice repose sur l'utilisation de sommes de Riemann. Il convient de citer le théo- rème utilisé et de préciser la fonction à laquelle on l'applique.

Deux suites (a _n ) _n∈ _N

^∗

et (b _n ) _n∈ _N

^∗

sont dénies par :

∀n ∈ N ^∗ , a _n =

n−1

X

k=0

n

(n + k) ² , b _n = 1 2 −

n−1

X

k=0

n (n + k) ² . 1. Calculer

Z 1 0

dx (1 + x) ² . 2. Montrer la convergence et calculer la limite de (a n ) n∈ N

^∗

. 3. Soit F ∈ C ² ([a, b]) .

a. Appliquer à la fonction F la formule de Taylor avec reste intégral entre a et b à l'ordre 1 .

b. En déduire l'existence d'un c ∈ [a, b] tel que

F (b) = F(a) + (b − a)F ⁰ (a) + (b − a) ²

2 F ⁰⁰ (c) (reste de Lagrange) .

2

(3)

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4. a. Pour n ∈ N ^∗ , en utilisant la question 3.b. à des intervalles et à une fonction soigneusement précisés, montrer que nb n est une somme de Riemann.

b. En déduire un développement limité de la suite (a n ) n∈ N

^∗

.

3

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Exercice 1

Soit a , b , c , m , n , p des nombres réels. On suppose c non nul.

1. Discuter et résoudre le système







bz − cy = 1 cx − az = m

ay − bx = n 2. Soit A et C les matrices suivantes :

A =









0 −c b a

c 0 −a b

−b a 0 c

a b c 0









, C =







 1 m

n p









Calculer t AA puis résoudre le système AX = C d'inconnue

X =







 x y z t









3. Exprimer les solutions du système de la question 1. à l'aide de la question 2. en consi- dérant p comme un paramètre. On posera

p = α 2 µ, α = p

a 2 + b 2 + c 2

Exercice 2

Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.

Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 2)

!

n∈ N

Exercice 3

On note E l'espace vectoriel réel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Lorsque P ∈ E et t ∈ R, on désigne par P(t) (au lieu de P e (t) ) la valeur en t de la fonction réelle associée à P .

Si vous utilisez des polynômes d'interpolation, il convient de les dénir soigneusement.

1. À tout réel ξ on associe la forme linéaire f ξ dénie par :

∀P ∈ E : f ξ (P) = P (ξ)

Montrer que les formes linéaires f a , f b , f c , f d sont indépendantes si et seulement si les quatre réels a , b , c , d sont distincts.

2. Montrer l'existence d'une unique famille de nombres réels (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0

P(t)dt = x 0 P(0) + x 1 P(1) + x 2 P (2) + x 3 P (3) Calculer x 0 , x 1 , x 2 , x 3 .

3. Montrer l'existence d'une unique famille de nombres réels (A, B, a, b) (à déterminer numériquement) telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0

P(t)dt = AP (a) + BP (b).

On pourra utiliser un système linéaire de 4 équations à deux inconnues.

4. Montrer l'existence d'une famille de nombres complexes (u, v, w) unique à permutation près et telle que :

∀P ∈ E : Z 1

0

P(t)dt = 1

3 (P (u) + P (v) + P(w)) Préciser le polynôme dont u, v, w sont les racines.

Exercice 4

Pour tout entier n ≥ 0 , on dénit

I n = Z 1

0

(1 + t) n 1 + t 2 dt

Calculer ^t AA puis résoudre le système AX = C d'inconnue

p = α ² µ, α = p

a ² + b ² + c ²

∀P ∈ E : f _ξ (P) = P (ξ)

2. Montrer l'existence d'une unique famille de nombres réels (x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) telle que :

(1 + t) ⁿ 1 + t ² dt

2. Etablir l'existence d'un polynôme P n et de réels a n et b n tels que (1 + t) ⁿ

1 + t ² = P _n (t) + a _n + b _n t 1 + t ²

, cos(n ^π ₄ ) , sin(n ^π ₄ ) .

3. Montrer que I n peut s'écrire sous la forme p n + q n ln 2 + r n π où (p n ) n∈ N , (q n ) n∈ N , (r n ) n∈ N sont trois suites de nombres rationnels. Pour quelles valeurs de l'entier n a-t- on q _n = 0 .

I _n+2 − 2I _n+1 + 2I _n q n+2 − 2q n+1 + 2q n

r _n+2 − 2r _n+1 + 2r _n

I n = 2 ⁿ

Notons E le R-espace vectoriel R ⁴ muni de la base canonique C = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Pour tout réel α , on considère l'endomorphisme f de E déni par

3. Montrer que g est un endomorphisme de F , écrire la matrice B de g dans la base B . 4. Montrer que g est inversible et écrire la matrice de g ⁻¹ dans la base B .

( ∀i ∈ {1, 2, 3}, h(ε i ) = g ⁻¹ (ε i ) h et f ont le même noyau

Deux suites (a _n ) _n∈ _N

et (b _n ) _n∈ _N

∀n ∈ N ^∗ , a _n =

(n + k) ² , b _n = 1 2 −

n (n + k) ² . 1. Calculer

dx (1 + x) ² . 2. Montrer la convergence et calculer la limite de (a n ) n∈ N

. 3. Soit F ∈ C ² ([a, b]) .

F (b) = F(a) + (b − a)F ⁰ (a) + (b − a) ²

2 F ⁰⁰ (c) (reste de Lagrange) .

4. a. Pour n ∈ N ^∗ , en utilisant la question 3.b. à des intervalles et à une fonction soigneusement précisés, montrer que nb n est une somme de Riemann.