MPSI B DS 7 29 juin 2019
Exercice
Soit (a
1, a
2, a
3, a
4) une base d'un R espace vectoriel E . Les fonctions coordonnées dans cette base sont notées (α
1, α
2, α
3, α
4) .
On dénit une famille (u
1, u
2, u
3) de vecteurs de E par : u
1= a
1+ a
2+ a
3+ 2a
4u
2= 3a
1+ 5a
3+ a
4u
3= −a
1+ 2a
2− 3a
3+ 3a
41. Soit x = x
1a
1+ x
2a
2+ x
3a
3+ x
4a
4∈ E . Déterminer des conditions sur (x
1, x
2, x
3, x
4) assurant que x ∈ Vect(u
1, u
2, u
3) .
2. Déterminer une famille libre (α, β) de formes linéaires (exprimées en fonction des α
i) telles que
Vect(u
1, u
2, u
3) = ker α ∩ ker β.
Premier problème
Pour tout entier naturel k , on désigne par R
k[X] l'ensembles des polynômes à coecients réels et de degré inférieur ou égal à k . On considère un entier naturel n ≥ 1 xé et on note D l'application dérivation polynomiale de R
n+1[X ] dans R
n[X ] .
Partie I
1. Quel est le noyau de D ?
2. Soit H un supplémentaire de ker D dans R
n+1[X] , montrer que la restriction de D à H est un isomorphisme entre H et R
n[X] . (On demande la démonstration du lemme de cours). On note D
acette application.
3. Soit a ∈ R et
H
a= {(X − a)Q, Q ∈ R
n[X]}.
Montrer que H
aest un supplémentaire de ker D dans R
n+1[X ] . 4. a. Montrer que
U = ((X − a), (X − a)X, · · · , (X − a)X
n) est une base de H
a.
b. Soit B = (1, X, · · · , X
n) . Former la matrice Mat
U BD
a.
Partie II
Pour un réel a xé, on dénit une application f
ade R
n[X ] dans R
n[X]
P → D((X − a)P )
1. Montrer que f
aest un automorphisme. On note g
asa bijection réciproque.
2. Montrer que pour tout k entre 0 et n , R
k[X] est stable par g
a. 3. Former la matrice de f
adans la base B = (1, X, · · · , X
n) . 4. Pour tout k entre 0 et n , on note P
k= f
a(X
k)
a. Exprimer les X
ken fonction des P
k. b. Former la matrice de g
adans la base B . Partie III
Pour tout réel b , on pose
B
b= (1, (X − b), · · · , (X − b)
n)
1. Montrer que B
best une base de R
n[X ] . Quelles sont les coordonnées d'un polynôme P dans cette base ?
2. Former les matrices de passages P
BBbet P
BbB3. Former les matrice de f
aet g
adans B
a.
Deuxième Problème
On dénit des ensembles T , T
+, D de matrices carrées dans M
3( R ) . L'ensemble T est formé par les matrices triangulaires supérieures
α a b
0 β c
0 0 γ
a, b, c, α, β, γ ∈ R
L'ensemble T
+est formé par les matrices triangulaires supérieures strictes
0 a b 0 0 c 0 0 0
a, b, c ∈ R
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0207EMPSI B DS 7 29 juin 2019
L'ensemble D est formé par les matrices diagonales
α 0 0
0 β 0
0 0 γ
α, β, γ ∈ R
Partie I
1. Montrer l'existence d'entiers n tels que :
∀A ∈ T
+: A
n= 0
M3(R)Préciser le plus petit de ces entiers.
2. a. Déterminer les matrices diagonales D qui commutent avec toutes les matrices triangulaires supérieures strictes.
b. Pour une telle matrice D , calculer pour n entier et A ∈ T
+(D + A)
nPartie II
Soit E l'ensemble des matrices de la forme
M (a, b) =
1 a b 0 1 a 0 0 1
a, b ∈ R
Pour toute application f de R dans R, on note M c (x) = M (x, f(x)) 1. Montrer que E est un sous-groupe de GL
3( R ) . 2. On cherche les fonctions f telles que
∀(x, y) ∈ R
2: M c (x) M c (y) = M c (x + y) (1) a. Montrer que si f est une telle fonction : f (0) = 0 , M c (0) = I
3et pour tout réel x
M c
−1(x) = M c (−x)
b. Caractériser les fonctions vériant (1) par une relation fonctionnelle.
c. Vérier que, pour tout réel m ,
x → 1
2 x
2+ mx vérie la condition (1)
d. Montrer que toute fonction dérivable vériant (1) est de cette forme.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
