MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
On dénit des ensembles T , T
+, D de matrices carrées dans M
3( R ) . L'ensemble T est formé par les matrices triangulaires supérieures
α a b 0 β c 0 0 γ
a, b, c, α, β, γ ∈ R
L'ensemble T
+est formé par les matrices triangulaires supérieures strictes
0 a b 0 0 c 0 0 0
a, b, c ∈ R
L'ensemble D est formé par les matrices diagonales
α 0 0 0 β 0 0 0 γ
α, β, γ ∈ R
Partie I
1. Montrer l'existence d'entiers n tels que :
∀A ∈ T
+: A
n= 0
M3(R)Préciser le plus petit de ces entiers.
2. a. Déterminer les matrices diagonales D qui commutent avec toutes les matrices triangulaires supérieures strictes.
b. Pour une telle matrice D , calculer pour n entier et A ∈ T
+(D + A)
nPartie II
Soit E l'ensemble des matrices de la forme M (a, b) =
1 a b 0 1 a 0 0 1
a, b ∈ R
Pour toute application f de R dans R, on note M c (x) = M (x, f(x))
1. Montrer que E est un sous-groupe de GL
3( R ) . 2. On cherche les fonctions f telles que
∀(x, y) ∈ R
2: M c (x) M c (y) = M c (x + y) (1) a. Montrer que si f est une telle fonction : f (0) = 0 , M c (0) = I
3et pour tout réel x
M c
−1(x) = M c (−x)
b. Caractériser les fonctions vériant (1) par une relation fonctionnelle.
c. Vérier que, pour tout réel m ,
x → 1
2 x
2+ mx vérie la condition (1)
d. Montrer que toute fonction dérivable vériant (1) est de cette forme.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aalglin3MPSI B 29 juin 2019
Corrigé Partie I
1. On va montrer que, pour toute matrice A ∈ T
+: A
3est la matrice nulle.
En eet
A =
0 a b 0 0 c 0 0 0
⇒ A
2=
0 0 ac 0 0 0 0 0 0
⇒ A
3=
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2. a. Soit D une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont α , β , γ et commutant avec toutes les triangulaires supérieures strictes.
D commute avec
0 1 0 0 0 0 0 0 0
⇒
0 α 0 0 0 0 0 0 0
=
0 β 0 0 0 0 0 0 0
⇒ α = β
D commute avec
0 0 0 0 0 1 0 0 0
⇒
0 0 0 0 0 β 0 0 0
=
0 0 0 0 0 γ 0 0 0
⇒ β = γ
On doit donc avoir α = β = γ soit D ∈ Vect(I
3) . Réciproquement, toute matrice de la forme λI
3commute avec toute autre matrice.
b. Comme D commute avec A , on peut utiliser la formule du binöme. Cette formule est très simple car les puissances de A sont nulles à partir de l'exposant 3 . On obtient :
(D + A)
n= D
n+ nD
n−1A + n(n − 1)
2 D
n−2A
2Partie II
1. Il est bien évident par dénition que E est non vide, pour montrer que c'est un sous- groupe de GL
3( R ) , on doit vérier que :
toute matrice de E est inversible et que son inverse est encore dans E . le produit de deux matrices de E est dans E .
Une matrice de E est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. Son rang est donc 3 ce qui prouve son inversibilité. On ne cherche pas à montrer tout de suite que la matrice inverse est dans E . Cela sera rendu plus facile par la stabilité suivante.
On vérie facilement que
M (a, b)M (a
0, b
0) = M (a + a
0, b + b
0+ aa
0)
On en déduit la stabilité pour le produit.
On remarque que I
3= M (0, 0) . On en déduit que M (−a, −b + a
2) = M (a, b)
−1. Ce qui prouve la stabilité par inversion qui manquait.
2. a. Appliquons la relation de dénition avec x quelconque et y = 0 . On obtient
M c (x) M c (0) = M c (x)
Comme M c (x) est inversible, cela entraine M c (0) = I
3donc f (0) = 0 . Si on applique ensuite la relation fondamentale à x et −x (dans les deux sens), on obtient
M c (x)
−1= M c (−x)
b. On peut réécrire avec des f l'expression du produit trouvée en 1.
M (x, f(x))M (y, f(y)) = M (x + y, f(x) + f (y) + xy) On en déduit :
M c (x)c M (y) = M c (x + y) ⇔ f (x) + f (y) + xy = f (x + y) c. La vérication est immédiate par le calcul.
d. Pour y 6= 0 et x quelconque, en utilisant f (0) = 0 , on peut écrire la relation fonctionnelle sous la forme suivante :
f (x + y)f (x)
y = f (y) − f (0)
y + x
Si on suppose f dérivable dans R, en prenant la limite en 0 des fonctions de y , on obtient :
∀x ∈ R : f
0(x) = f
0(0) + x
Posons m = f
0(0) , en intégrant on retrouve bien que f est de la forme f (x) = 1
2 x
2+ mx
La constante d'intégration est nulle car on doit avoir f (0) = 0 .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
