Univesité Mohammed Premier 1ère année GNSS, S2 Faculté Pluridisciplinaire Nador MATHS pour Navigation,
a.slimani@ump.ac.ma Année Universitaire : 2019/2020
Chapitre 1
Calcul Matriciel
1.1. Définition et notations
Soit K=R ou C. Pour p∈N, on pose Np={1, ..., p}.
Définition 1. On appelle matrice de type (n, p) sur K, toute application M : Nn×Np−→K
(i, j) −→mij. - La matrice précédente se note M = (mij)0≤i≤n
0≤j≤p
.
- Elle se présente par le tableau rectangulaire de n lignes et p colonnes suivant
m11 m12 · · · m1p m21 m22 · · · m2p
... ... ... ... mn1 mn2 · · · mnp
.
- Dans ce tableau, le scalaire mij est situé sur la iième ligne et la jième colonne,mij est le terme (i, j) de M.
- L’ensemble des matrices de (n, p) sur K est notée Mn,p(K). Dans le cas où n = p, on dit que la matrice est carrée et on note plus simplement l’ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes Mn(K).
- le vecteur ui = (mi1, mi2, ..., mip) est appelé iième vecteur-ligne de la matrice M. - le vecteur vj = (m1j, m2j, ..., mnj) est appelé jième vecteur-colonne de la matrice M.
1.2. Opérations sur les matrices
Définition 2. - On définit sur Mn,p(K) la somme de deux matrices A= (aij)i,j et B= (bij)i,j par : [aij] + [bij] = [aij +bij]. (Addition)
- De même, on définit la multiplication d’une matrice M = (mij)i,j par un scalaire λ∈Kpar : λ(mij) = (λmij).
- La matrice nulle0np(ou plus simplement 0 si les dimensions de la matrice sont claires dans le contexte) est la matrice à n lignes et p colonnes dont tous les coefficients sont nuls. L’opposé d’une matrice A pour l’opération de somme sera noté −A, il s’agit de la matrice obtenue en prenant les opposś de tous les termes de la matrice A.
Exemples.
1.
a b c d
!
+ e f
g h
!
= a+e b+f c+g d+h
! .
2.
3 1 −1 2
0 3 5
!
= 3 −3 6
0 9 15
! .
Application.
Déterminons la matriceA∈ M2,2(R) telle que (E) : 2A− 4 0
6 2
!
= 10 −2
−4 8
!
L’équation (E) équivaut à
2A= 4 0 6 2
!
+ 10 −2
−4 8
!
= 14 −2
2 10
!
DoncA= 7 −1
1 5
! .
Définition 3. Soientm, n, p∈N. On appelle produit de la matriceA= (aij)∈ Mm,p(K) par la matrice B = (bij)∈ Mp,n(K, la matriceC, notée C =AB, donnée par
C= (cik)∈ Mm,n(K) avec cik =
p
X
j=1
aijbjk.
Règle de calcul.
le terme cik de la matrice produit AB s’obtient en multipliant termes à termes et en sommant la iième ligne de A:
(ai1, ..., ain) par la kième colonne de B :
b1k
... bpk
Exemples.
1. Casm=p=n= 2 :
a b b d
! a0 b0 b0 d0
!
= aa0+bc0 ab0+bd0 ca0+dc0 cb0+dd0
!
2. Casn= 1 :
a11 a11 · · · a1p
a21 a22 · · · a2p
... ... ... ... am1 am2 · · · amp
,
b1
b2
... bp
Le produitAB est la matrice colonne :
AB=
a11b1+a12b2+. . .+a1pbp
a21b1+a22b2+. . .+a2pbp
...
am1b1+am2b2+. . .+ampbp
Applications.
1. Vérifier que :
1 0 5
4 −1 3
3 2 0
3 1 −2
0 2 6
1 −3 4
=
8 −14 18
15 −7 −2
9 7 6
.
2. Calculer ABet BAavecA= 1 −2 3
−4 5 −6
!
etB =
−1 4 2 −5
−3 6
.
Remarque 1. le produit matricielABn’a de sens que si le nombre de colonnes de la matriceA est égal au nombre de lignes de la matrice B.
Propriétés 1. Soient A, B et C trois matrices de Mn,p(K) et λ∈K. On a les propriétés suivantes : 1. (AB)C =A(BC) (associativité du produit matriciel).
2. A(B+C) =AB+AC (distributivité à droite).
3. (A+B)C =AC+BC (distributivité à gauche).
4. λ(AB) =A(λB).
5. Pour tout A ∈ Mn,p(K) on a InA = AIp = A où In =
1 · · · (0) . ..
(0) · · · 1
est une matrice carrée de taille n appelée matrice identité dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et dont les autres coefficients sont nuls.
6. Le produit d’une matrice par une matrice nulle (de taille compatible), à gauche comme à droite, est toujours nul.
Remarques 1. 1. Attention !le produit matriciel n’est pas commutatif. En voici un contre exemple : PrenonsA= 1 1
0 0
!
etB = 0 0 0 1
! . On a
AB= 0 1 0 0
!
6=BA= 0 0 0 0
!
2. Soient A, B et C trois matrices (même si les matrices ne sont pas carrées), si AB = AC alors ceci n’implique en général pas B=C.
1.3. Transposée d’une matrice
Définition 4. La transposée d’une matriceA= (ai,j)∈Mn,p(K) est la matrice tA= (αi,j)∈ Mp,n(K), où αij =aji. Autrement dit, les lignes de A sont les colonnes de tA et vice-versa.
Exemples.
1. La transposée deA=
1 2 3 0 4 5 0 0 6
est tA=
1 0 0 2 4 0 4 5 6
ett 1 2 3 =
1 2 3
ett(4) = (4).
2. On considère la matrice B= −1 2 −3
4 −5 6
!
. CalculertB, (tB)B etB(tB).
Propriétés 2. Pour tous λ, µ∈Ket pour tous A, B∈ Mn,p(K), on a t(λA+µB) =λtA+µtB.
2. Pour tout A∈ Mn,p(K) on a :t(tA) =A.
3. Pour tous A∈ Mm,p(K) et B∈ Mp,n(K) on a : t(AB) =tBtA.
1.4. Matrices carrées
Définition 5. - On appelle matrice carrée d’ordre n sur K tout élément de Mn,n(K). L’ensemble des matrices carrées est tout simplement noté Mn(K).
- Une matrice carrée A ∈ Mn(K) est diagonale si seuls ses coefficients aii sont (éventuellement) non nuls (on les appelle d’ailleurs coefficients diagonaux de A), ou encore :
A=
a11 0 · · · 0 0 a22 . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · 0 ann
.
- On appelle matrice identité d’ordre n, noté In, la matrice (δij)0≤i≤n 0≤j≤n
de Mn(K), où δij =
( 1, si i =j
0, si i 6=j dénote le symbole de Kronecker. Donc In=
1 0 · · · 0 0 1 . .. ...
... . .. ... 0 0 · · · 0 1
On vérifie sans peine que : ∀A∈ Mn(K) :
A.In=InA=A.
Définition 6. Soit A une matrice carrée de taille n.
- On dit que Aest triangulaire inférieure si ses éléments au dessus de la diagonale sont nuls, autrement dit si i < j ⇒aij = 0. Une matrice triangulaire inférieure a donc la forme suivante :
A=
a11 0 · · · 0 a21 a22 . .. ... ... . .. ... 0 an1 an2 · · · ann
.
On dit que A est triangulaire supérieure si ses éléments au dessous de la diagonale sont nuls, au- trement dit si i > j ⇒ aij = 0. Une matrice triangulaire inférieure a donc la forme suivante :
A=
a11 a12 · · · a1n 0 a22 . .. a2n
... . .. ... ... 0 · · · 0 ann
.
Remarquons qu’une matrice qui est à la fois triangulaire inférieure est triangulaire supérieure est diago- nale.
Exemples.
1. Les matrices suivantes sont des matrices triangulaires inférieures :
A=
−3 0 0
1 5 0
4 2 0
et B= 5 0 1 −2
! .
2. Les matrices suivantes sont des matrices triangulaires supérieures :
A=
0 1 0
0 −6 −5
0 0 9
et B = 7 16 0 −7
! . 3. Les matrices suivantes sont des matrices diagonales :
A=
0 0 0 0 6 0 0 0 8
et B = 2 0 0 3
! .
Propriétés 3. - Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.
- Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure (et de même pour les matrices triangulaires inférieures).
- La transposée d’une matrice diagonale est elle-même.
- La transposée d’une matrice triangulaire supérieure est triangulaire inférieure (et vice versa).
Définition 7. - On définit les puissances dĄ’une matrice carrée A∈ Mn(K) par la récurrence : ( A0 =In,
Am+1 =A.Am, pour tout m∈N .
-Plus généralement, Si P(X) =anXn+...+a1X+a0 est un polynôme à coefficients dansK, on définit la matrice P(A) par P(A) =anAn+...+a1A+a0In.
- Une matrice carré A est dite nilpotente s’il existe un entier p tel que Ap = 0. L’entier p est appelé l’indice de nilpotence de la matrice A.
Applications.
1. Calculer les puissances de la matriceN3 =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
. En déduire queAest nilpotente en précisant son indice.
2. On considèreA, B ∈ Mn(K). Développer (A+In)3 et (A+B)3.
Remarque 2. Si une matrice carrée d’ordre n est nilpotente, elle vérifie nécessairement An = 0 (pour l’entierncorrespondant à l’ordre de la matrice).
Propriétés 4. Soient A, B ∈ Mn(K) telles que AB = BA et m, m1, m2 ∈ N. On a les propriétés suivantes :
1. Am1Am2 =Am1+m2 et t(Am) = (tA)m. 2. (A+B)m=
k=m
X
k=1
CkmAkBm−k (Formule de binôme de Newton)
3. Si P etQsont deux polynômes à coefficients dans Kalors(P Q)(A) :=P(A)Q(A) =Q(A)P(A).
Remarque 3. Pour appliquer la formule du binôme de Newton il ne faut pas oublier de vérifier que les matricesA etB commutent entre elles !
Applications.
1. Calculer les puissances de la matriceA= 1 1 0 1
!
en utilisant la formule du binôme.
2. Soit B=
1 2 0 0 1 2 0 0 1
. Calculer de deux façons différentes Bn pour toutn∈N.
3. Soit C=
3 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 i
. CalculerCn pour toutn∈N.
Remarque 4. On déduit aisément des remarques précédentes que les puissances d’une matrice diagonale sont simplement obtenues en prenant les puissances correspondantes de ses coefficients diagonaux.
Définition 8. Une matrice A∈ Mn(K) est dite inversible s’il existe une matrice carrée A−1∈ Mn(K) appeléee inverse de la matrice A telle queAA−1=A−1A=In.
Application.
Déterminer l’inverrse de la matriceA= 2 1 3 2
! .
Remarques 2. - La notion n’a pas bien sûr de sens dans le cas de matrices qui ne sont pas carrées.
- L’inverse s’il existe est unique.
- La matrice identité est inversible et est son propre inverse.
Propriétés 5. (Principales propriétés calculatoires de l’inversion de matrices) Soit A matrice de Mn(K) inversible. On a les propriétés suivantes :
1. A−1 est inversible et A−1−1=A.
2. Am est inversible et (Am)−1=A−1m.
3. kA est inversible pour toutk∈K∗ et (kA)−1= 1 kA−1. 4. tA est inversible et tA−1=tA−1.
5. Si A est triangulaire, alors tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.
6. Si B est une matrice deMn(K) inversible alors (AB)−1 =B−1A−1.
Remarque 5. Une matrice diagonale est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont
non nuls. On a alors, siA=
a11 0 · · · 0 0 a22 . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · 0 ann
, A−1 =
a−111 0 · · · 0 0 a−122 . .. ... ... . .. ... 0 0 · · · 0 a−1nn
.
Définition 9. La trace d’une matrice A = (aij) ∈ Mn(K) est le nombre obtenu en additionnant les éléments diagonaux de A. Autrement dit
T r(A) =
n
X
i=1
aii.
1.4.1. Exemples.
Soient
A= 2 1 0 5
!
et B =
1 1 2
5 2 8
11 0 −10
AlorsT r(A) = 2 + 5 = 7 etT r(B) = 1 + 2−10 =−7.
Propriétés 6. Soient A, B∈ Mn(K) et λ∈K. On a 1. T r(A+B) =T r(A) +T r(B).
2. T r(λA) =λtr(A).
3. T r(tA) =T r(A).
4. T r(AB) =T r(BA).
Définition 10. Une matrice A ∈ Mn(K) est symétrique si tA = A, c’est-à-dire si ∀(i, j) ∈ N2n, aij =aji. Elle est dite antisymétrique si tA=−A.
Exemples.
1. Les matrices
−1 0 5
0 2 −1
5 −1 0
, 0 2 2 4
!
, In et 0n,n sont symétriques.
2. Les matrices
0 −1
1 0
! 0 0 0 0
! et
0 4 2
−4 0 −5
−2 5 0
sont antisymétriques.
Propriétés 7. - Pour une matrice B quelconque, les matrices BtB et tBB sont symétriques.
- Les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours tous nuls.
Théorème 1. Toute matrice carrée A de taille n est la somme d’une matrice symétrique B et d’une matrice antisymétrique C.
Exemple.
Soit A = 2 8 10 −3
!
. Alors A = 2 9 9 −3
!
+ 0 1
−1 0
!
= B +C avec B = 2 9 9 −3
!
est une matrice symétrique etC= 0 1
−1 0
!
est une matrice antisymétrique.
Définition 11. Deux matrices A, B ∈ Mn(K) sont dites semblables (ou encore A est semblable à B) s’il existe une matrice inversible P ∈ Mn(K) telle que A=P BP−1.
Exemple.
Montrer que les matricesA= 0 2 2 0
!
etB = 2 0 0 −2
!
sont semblables.
Propriétés 8. Soient A, B∈ Mn(K) semblables. Alors : 1.T r(A) =T r(B).
2.tAettB sont semblables.
3.A est inversible si et seulement si B est inversible.
4. SiA=P BP−1 alors∀k∈N,Ak=P BkP−1 .
5. SiP est un plynôme à coefficient dansKalorsP(A) et P(B) sont semblables.
Applications.
1. En utilisant la propriété 4, calculer les puissance de la matriceA de l’exemple précédent.
2. Les matricesM =
3 4 0
2 2 0
1 −1 1
etN =
2 3 0
1 1 −1
0 0 2
sont-elles semblables ?
Le possible est une matrice formidable.
—————————————————————————————————————————————–
Victor Hugo
Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself.
—————————————————————————————————————————————–
Tagline du film Matrix
1.5. Déterminant
Soientn∈N∗ etA une matrice carré d’ordre n. Pour 1≤i, j≤n, on note Ai,j la matrice carré d’ordre n−1 obtenue deA en supprimant la ième ligne et la jème colonne.
Exemple 1. Soit
A=
1 0 1
2 −2 1 3 −1 −3
Alors : A1,1 = −2 4
−1 −3
!
, A1,2 = 2 4 3 −3
!
, A2,1 = 0 1
−1 −3
!
, A2,2= 1 1 3 −3
! , A1,3 = 2 −2
3 −1
!
, A2,3= 1 0 3 −1
!
, A3,1 = 0 1
−2 4
!
, A3,2= 1 1 2 4
!
, A3,3= 1 0 2 −2
! .
Définition 12. Soit A= (aij)0≤i,j≤n une matrice carrée d’ordre n. On définit, par récurrence sur n, le déterminant de A, noté det(A), de la manière suivante :
det(A) =a11det(A1,1)−a21det(A2,1) +...+ (−1)1+iai1det(Ai,1) +...+ (−1)1+nan1det(An,1).
Cette écriture du déterminant s’appelle le développement du déterminant de A suivant la première colonne.
Si A=
a11 · · · a1n ... . .. ... an1 · · · ann
une matrice carrée d’ordre n, on note det(A) par :
a11 · · · a1n ... . .. ... an1 · · · ann
Exemples fondamentaux 1.
1. det(On) = 0, oùOn est la matrice nulle d’ordre n.
2. Soit A = a c b d
!
une matrice carré d’ordre 2 à coefficiens dans K. Nous avons : A1,1 = (d), A1,2 = (c), A2,1= (b),A2,2= (a) et
det(A) =a.det(A1,1)−b.det(A2,1) =ad−bc.
En terme de notation ci-dessus, on écrit : det(A) =
a b c d
=ad−bc
3. SoitA=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a22
une matrice carré d’ordre 3 à coefficiens dansK. Alors :
det(A) =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a22
=a11
a22 a23
a32 a22
−a21
a12 a13
a32 a22
+a31
a12 a13
a22 a23
4. Soit
A=
a11 0 · · · 0 a21 a22 . .. ... ... . .. . .. 0 an1 · · · ann−1 ann
une matrice carré triangulaire inférieure d’ordrenà coefficiens dansK. On montre par récurrence surn, que :
det(A) =a11.a22...ann. En particulier, le déterminant de la matrice identitéIn est égale à 1.
Remarques 3. 1. Les opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice ont l’effet suivant sur son déterminant :
a. L’échange de deux colonnes change le signe du déterminant.
b. Le produit d’une colonnes par une constanteλmultiplie le déterminant de la matrice par la même constante.
c. Une combinaison ne change pas le déterminant de la matrice.
d. Généralement, on peut calculer le déterminant en développant suivant la jème colonne : det(A) =
n
X
i=1
(−1)i+jaijAi,j.
2. On a exactement les mêmes propriétés pour les opérations sur les lignes (on peut combiner les deux sans problème dans un calcul de déterminant).
Propriétés 9. 1. Si A possède une ligne nulle (resp. une colonne nulle), alors det(A) = 0.
2. Si A possède deux lignes égales, (resp. deux colonnes égales), alors det(A) = 0.
3. Si A est une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) alors det(A) est le produit de ses éléments diagonaux :
A=
a11 ∗ . ..
0 ann
ou A =
a11 0 . ..
∗ ann
,
det(A) =a11.a22...ann.
4. Le déterminant du produit de deux matrices carrées est égale au produit des déterminants de ces matrices :
det(AB) = det(A).det(B).
5. Une matrice carrée et sa transposée ont le même déterminant : det(tA) = det(A)
6. Si λ∈K,
det(λA) =λndet(A).
7. Si A est inversible alors :
det(A−1) = 1 det(A).
1.6. Calcul de l’inverse d’une matrice
1.6.1. Calcul de l’inverse d’une matrice par la méthode des cofacteurs.
Théorème 2. Soit A une matrice carrée d’ordre n. Alors :
A est inversible si et seulement si det(A)6=0.
Remarque 6. En terme de déterminant, on peut tester si une matrice carrée est inversible, et si c’est oui, on peut calculer son inverse. le théorème précédent permet de tester l’inversibilité d’une matrice carrée.
Pour le calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible, nous avons besoin de la définition suivante : Définition 13. Soit A = (ai,j) une matrice carrée d’ordre n. On appelle cofacteur associé à ai,j le nombre (−1)i+jdet(Ai,j) La comatrice de A, notée com(A), est la matrice carrée d’ordre n dont les coefficients sont les cofacteurs.
Avec les notations, on peut énoncer le résultat concernant le calcul de la matrice inverse d’une matrice inversible :
Théorème 3. Soit A = (ai,j) une matrice carrée d’ordre n. Si A est inversible alors : A−1 = 1
det(A).tcom(A).
Exemples 1. 1. Soit A= a c b d
!
une matrice inversible (c.à.d telle que ad−bc6= 0). Dans ce cas :
com(A) = d −b
−c a
!
et
A−1 = 1 ad−bc
d −a
−b a
!
2. Soit
A=
1 0 1
2 −2 4 3 −1 −3
La matriceAest inversible puisque det(A) = 146= 0. Les cofacteurs associés à la matriceA sont :
−2 4
−1 −3
!
= 10, − 2 4
3 −3
!
= 18, 2 −2
3 −1
!
= 4, − 0 1
−1 −3
!
=−1,
1 1
3 −3
!
=−6, − 1 0
3 −1
!
= 1, 0 1
−2 4
!
= 2, − 1 1
2 4
!
=−2, 1 0
2 −2
!
=−2.
Donc la comatrice deA est
com(A) =
10 18 4
−1 −6 1
2 −2 −2
La transposé de cette dernière matrice est :
tcom(A) =
10 −1 2
18 −6 −2
4 1 −2
Par conséquent :
A−1 = 1 14
10 −1 2
18 −6 −2
4 1 −2
=
5 7
−1 14
1 9 7
7 −3 7 −1 2 7
7 1 14 −1
7
.
1.6.2. Calcul de l’inverse d’une matrice par l’alogorithme du pivot de Gauss
Pour inverser une matrice carrée A, on effectue successivement les opérations suivantes :
1. Si besoin est, on échange la ligne L1 avec une ligne Li sur laquelle le coefficient ai1 est non nul (s’il n’y a pas de tel coefficient non nul, la matrice contient une colonne nulle et ne peut pas être inversible).
2. À l’aide de combinaisons du type Li ←a11Li+ai1L1, on annule tous les coefficients ai1, pouri≥2 (on peut le faire cara11, qui sera appelé pivot de Gauss, est désormais non nul).
3. On reprend l’algorithme sur la sous-matrice formée des n−1 dernières lignes jusqu’à obtenir une matrice triangulaire supérieure.
4. Si la matrice triangulaire obtenue a un coefficient diagonal nul, elle n’est pas inversible, et la matrice Anon plus.
5. Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls, on annule les coefficients au-dessus de la diagonale à l’aide de pivots situés sur la diagonale, en commençant par annuler la dernière colonne (à l’aide du coefficient ann), puis l’avant-dernière (à l’aide de an−1n−1 etc.., de façon à ne pas faire réapparaitre de coefficients non nuls ailleurs que sur la diagonale.
6. On obtient ainsi une matrice diagonale, il ne reste qu’à multiplier chaque ligne par une constante pour trouver l’identité.
7. On reprend les mêmes opérations (ou on les effectue en parallèle) en partant de la matrice identité pour déterminerA−1.
Nous allons calculer l’inverse de la matrice suivante en utilisant le pivot de Gauss : En effectuant à gauche, les opérations sur la matriceA et à droite les mêmes opérations à partir deIn pour obtenir l’inverse : Exemple 2. Soit la matrice
A=
1 2 −1
2 4 −1
−2 −5 3
.
Montrer queA est inversible en déterminant son inverse par l’algorithme du pivot de Gauss.
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TD en Maths : Série 1
Exercice 1 Effectuer le produit des matrices : 2 1
3 2
!
× 1 −1
1 2
! 1 2 0 3 1 4
!
×
−1 −1 0
1 4 −1
2 1 2
a b c c b a 1 1 1
×
1 a c 1 b b 1 c a
Exercice 2 On considère les trois matrices suivantes :
A=
2 −3 1 0
5 4 1 3
6 −2 −1 7
B =
7 2
−5 2
3 1
6 0
et C = −1 2 6
3 5 7
!
1. CalculerAB puis (AB)C.
2. CalculerBC puisA(BC).
3. Que remarque-t-on ?
Exercice 3 On considère les deux matrices suivantes :
A=
2 3 −4 1
5 2 1 0
3 1 −6 7
2 4 0 1
, B =
3 −1 −3 7
4 0 2 1
2 3 0 −5
1 6 6 1
1. CalculerAB.
2. CalculerBA.
3. Que remarque-t-on ?
Exercice 4 On considère la matrice A=
1 0 0 0 1 1 3 1 1
.
1. SoientB =
1 1 1 0 1 0 1 0 0
etC=
1 1 1
1 2 1
0 −1 −1
. Montrer que AB=AC. Que peut-on déduire ?
Exercice 5 Soient les matrices suivantes : A=
2 5 −1
0 1 3
0 −2 4
; B =
1 7 −1
2 3 4
0 0 0
; C =
1 2
0 4
−1 0
.
Calculer : (A−2B)C,CTA,CTB,CT(AT −2BT), oùCT désigne la matrice transposée deC.
Exercice 6 Soit A(θ) = cosθ −sinθ sinθ cosθ
!
pour θ∈R. CalculerA(θ)×A(θ0) et A(θ)n pour n≥1.
Exercice 7 Soit A=
1 0 0 0 1 1 1 0 1
. En écrivant A=I+J, calculerAn,n∈N. Exercice 8
1. SoitA=
1 1 0 0 1 1 0 0 1
et soitB =A−I3.
(a) CalculerB2,B3 en déduire une formule de récurrence que l’on démontrera pourBn, pour tout entier n.
(b) Développer (B+I3)n par la formule du binome et simplifier.
(c) En déduire An Pour tout entiern.
Exercice 9 Calculer les puissances de : a b 0 a
!
, a b b a
! ,
1 1 1 0 1 1 0 0 1
.
Exercice 10 On considère la matrice A=
1 0 0 0 1 1 3 1 1
.
1. SoientB =
1 1 1 0 1 0 1 0 0
etC =
1 1 1
1 2 1
0 −1 −1
Montrer queAB=AC, a-t-onB =C?A peut-elle être inversible ?
2. Déterminer toutes les matricesF telles queA×F =O(O étant la matrice dont tous les coefficients sont nuls).
Exercice 11 Soit A=
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
CalculerA2 et montrer que A2 = 2I −A, en déduire que Aest inversible et calculer A−1.
Exercice 12 Soit A =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
. Calculer A2 et vérifier que A2 =A+ 2I3, où I3 est la matrice identité 3×3.En déduire queA est inversible et calculer son inverse.
Exercice 13 Soit A=
1 0 2
0 −1 1 1 −2 0
. CalculerA3−A. En déduire queA est inversible puis déterminer A−1.
Exercice 14 Soient A=
1 2 3 0 1 2 0 0 1
,B=
3 2 1 2 0 1 1 0 0
etC=
1 2 3
3 −3 0
1 2 −6
. 1. CalculerC(B−I).
2. En déduire queA etB ne sont pas semblables.
Optional Exercises.
Exercice 15 Soit la matriceA=
2 2
3
−5 2 −2
3
1. Montrer qu’il existe une matrice P inversible telle que A =P DP−1, où D est une matrice telle que D= 1 0
0 1/3
!
. En déduire An pour toutn∈N.
2. Déterminer les suites réelles (un) et (vn) telles que :u0 = 2 ety0= 1 et pour tout n∈N :
un+1 = 2un+2 3vn, vn+1=−5
2un−2 3vn. Exercice 16 On considère la suite (un) définie par :
u0 = 0, u1 = 1 un+2= 1
2(un+un+1), n∈N. 1. On pose Un = un
un+1
!
, montrer qu’il existe une matrice M indépendante de n telle que : Un+1 = M Unpour tout n∈N.
2. On poseD= 1 0 0 −1/2
!
. Montrer qu’il existe une matrice P inversible telle queM =P DP−1. 3. Calculer Mn pour toutn∈N, en déduire une forme explicite pour la suite (un).
Exercice 17 L’exponentielle d’une matrice carrée M est, par définition, la limite de la série eM = 1 +M+M2
2! +· · ·= lim
n→+∞
n
X
k=0
Mk k! . On admet que cette limite existe en vertu d’un théorème d’analyse.
1. Montrer que siAB=BAalorseA+B =eAeB. On est autorisé, pour traiter cette question, à passer à la limite sans précautions.
2. CalculereM pour les quatre matrices suivantes : A1 =
a 0 0 0 b 0 0 0 c
, A2 =
0 a b 0 0 c 0 0 0
, A3= 0 1
−1 0
!
, A4 = 1 0 0 0
! .
indication : Pour la matrice A4 montrer que A4 = 1 2
1 1
−i i
! i 0 0 −i
! 1 i 1 −i
! ! .
3. En prnenantA= 1 0 0 0
!
etB = 0 1 0 0
!
, montrer que : eA+B 6=eAeB. En prnenantA = A3 et B = A4, montrer que : A+B = 1
j−j
1 −1 j −j
! j 0 0 j
! 1 j
−1 −j
! , où j=eiπ3 . En déduire queeA+B 6=eAeB.
Exercice 18 Calculer le déterminant des matrices suivantes :
A= 2 3
−1 4
!
; B =
1 0 2 3 4 5 5 6 7
; C=
1 0 6
3 4 15 5 6 21
; et D=
1 0 0 2 3 5 4 1 3
.
Exercice 19 Les nombres 119, 153, et 289 sont divisibles par 17. Montrer sans développer que le déterminant de la matrice suivante est divisible par 17 :
A=
1 5 3 1 1 9 2 8 9
.
Exercice 20 Soient a, b, c∈R. Calculer les déterminants suivants :
D1 =
1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 1 2 3 1 1
; D2 =
1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
; D3 =
a b c c a b b c a
; D4 =
a b · · · b b b a · · · ... b ... b . .. b ... b ... · · · a b b b · · · b a
.
Exercice 21 Soient x, y, z et t des nombres réels. Calculer le déterminant et déterminer la condition de l’inversiblité pour chacune des matrices suivantes :
M(t) =
1 t 1 t 1 1 1 t 1
; M(x, y, z) =
1 1 1
x y z x2 y2 z2
.
Exercice 22 Calculer les inverses des matrices suivantes de deux manières suivantes :
A=
1 2 3
2 5 4
−1 0 2
; B =
1 1 −1
1 2 3
1 3 6
.
