Programme de colle série 5
ECS 1
Semaines du 30 novembre et 7 décembre
1 Étude globale d'une fonction sur un intervalle - Cours et exercices
Dénition d'une fonction paire, impaire, périodique. Symétries des courbes associées.
Dénition de majorant, minorant, maximum (global et local), minimum (global et local).
Dénition de fonction (strictement) croissante, décroissante, monotone. Composée de fonctions mo- notones. Théorème de la limite monotone.
Dénition de la continuité sur un intervalle. Opérations sur les fonctions continues, composition de fonctions continues. Espace vectoriel des fonctions continues.
Prolongement par continuité d'une fonction continue sur un intervalle.
Dénition d'une fonction continue par morceaux.
Théorème des valeurs intermédiaires (forme "faible" en 0, forme "forte" pour un réel quelconque).
Théorème des bornes. Théorème de la bijection.
Symétrie des tracés d'une courbe et de sa bijection réciproque dans un repère orthonormé.
Démonstrations à connaître :
L'ensemble des fonctions continues est un espace vectoriel,
Théorème des valeurs intermédiaires (forme forte en admettant la forme faible), Théorème de la bijection (sauf pour la continuité def−1).
2 Matrices - Cours et exercices
Dénition d'une matrice, espace des matrices, égalité de deux matrices, transposée.
Cas particulier des matrices carrées : matrices triangulaires, matrices diagonales, matrices symétriques ou antisymétriques.
Addition de deux matrices, produit par un scalaire. Espace vectoriel des matrices.
Produit matriciel : dénition, propriétés (distributivité, produit par un scalaire, etc).
Produit de deux matrices triangulaires, de deux matrices diagonales.
Formule du binôme de Newton pour les matrices.
Transposée du produit.
Inverse d'une matrice : cas d= 2 (formule à connaître dans ce cas), dénition du cas général.
Inverse d'un produit, de la transposée.
Calcul de l'inverse d'une matrice par la méthode du pivot de Gauss.
Démonstrations à connaître :
Formule du binôme de Newton pour les matrices, Transposée du produit,
Inverse du produit.
3 Systèmes linéaires - Cours et exercices
Dénition d'équation linéaire, de système linéaire. Système compatible, systèmes équivalents.
Dénition de système homogène. Système homogène associé à un système linéaire.
Écriture matricielle d'un système. Système de Cramer, unicité de la solution d'un système de Cramer.
Résolution de systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss.
Démonstrations à connaître : Pas de démonstration pour ce chapitre.
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