EPFL 2 avril 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 18
L’exercice 4 est à rendre le 16 avril au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 (Suite de l’exercice 2 de la Série 17)
Soit V = P2(R). On considère le produit scalaire défini pour P et Q dans V, de la manière suivante :
φ(P, Q) =
2
X
k=0
P(k)Q(k).
1. Déterminer {x2}⊥.
2. Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la baseSpan(1, X, X2). On note V =Span(1, X). En déduire projV(2 +X+ 5X2).
Exercice 2 (Suite de l’exercice 3 de la Série 17)
Soit V = {f :R→R continue}. On considère le produit scalaire défini pour f et g dans V par :
φ(f, g) = Z 2π
0
f(t)g(t)dt.
1. On considère le sous-espace vectoriel H ={a0+a1 cos(x) +b1 sin(x) | a0, a1, b1 ∈R}.
Par le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt donner une base orthonormale de H.
Déterminer le projeté orthogonal de la fonction f(x) = x sur H.
2. Déterminer le projeté orthogonal de la fonction g(x) =ex sur le sous espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 3.
Exercice 3 (Plus difficile !)
SoitE =M at(n, n,R), pour toute matriceAdeE on définit la trace deApar :tr(A) = Pn i=1ai,i. On munit E du produit scalaire défini par :
φ(M, N) = tr(MtN)
(On encourage vivement le lecteur à vérifier que ceci définit bien un produit scalaire sur E!).
1. Quel est le complément orthogonal du sous-espace formé des matrices diagonales ? 2. On rappelle qu’une matrice S est symétrique ssi St=S.
Quel est le complément orthogonal du sous-espace formé des matrices symétriques ? (Indication : On pourra trouver un candidat à cet orthogonal grâce au calcul fait à l’exer- cice 4.2 et raisonner sur les dimensions...)
Exercice 4 Soit E =M at(2,2,R). On considère le produit scalaire défini pour M et N dans E par : φ(M, N) =tr(MtN).
1. Déterminer {I2}⊥.
2. Déterminer le complément orthogonal du sous-espace formé des matrices symétriques.
3. Soit A =
3 −3 2 −4
. Déterminer le projeté orthogonal de A sur le sous-espace formé des matrices symétriques. (On déterminera une base orthonormale de ce sous-espace...)
1
