Programme de colle série 3
ECS 1
Semaines du 12 octobre et 2 novembre
1 Convergence des suites - Cours et exercices
Dénition de la convergence d'une suite vers un réel et de la divergence vers l'inni.
Unicité de la limite.
Toute suite convergente est bornée.
Opérations algébriques sur les suites convergentes.
Passage à la limite dans un encadrement, théorème des gendarmes, théorème des suites mono- tones.
Dénition des suites adjacentes, théorème de convergence.
Croissances comparées.
Démonstrations à connaître : Unicité de la limite, Théorème d'encadrement,
Convergence des suites adjacentes.
2 Espaces vectoriels - Cours et exercices
Espace vectoriel, opération interne, opération externe. αx= 0E ⇔α= 0 oux= 0E. Premiers espaces de référence : Kn, suites réelles, applications à valeurs dans R.
Sous-espace vectoriel : dénition et caractérisation. Un s.e.v. est un e.v. et contient toujours0E. Intersection de sous-espaces vectoriels. Contre-exemple dans le cas de l'union.
Dénition d'une famille nie de vecteurs, d'une combinaison linéaire, du sous-espace vectoriel engendré par une famille.
Dénition d'une famille génératrice. Toute famille qui contient une famille génératrice est géné- ratrice. Restriction d'une famille génératrice si un élément est combinaison linéaire des autres.
Dénition d'une famille libre. Sous-familles d'une famille libre. Caractérisation d'une famille libre. Famille liée.
Dénition d'une base. Lien avec les familles libre et génératrice. Base canonique (vue en exemple).
Démonstrations à connaître :
L'intersection de deux sev est un sev,
On peut retirer un élément d'une famille génératrice qui s'écrit comme comb. linéaire des autres, Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
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